Zeigen Sie, daß H eine Untergruppe von ℤ ist.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

2. Seien \( a, b \in \mathbb{Z} \) gegeben. Betrachten Sie die Menge \( H=\{m a+n b: m, n \in \mathbb{Z}\} \). Zeigen Sie, daß \( H \) eine Untergruppe von \( \mathbb{Z} \) ist.

Zusatzaufgabe: Untersuchen Sie anhand von Beispielen, etwa \( a=5, b=7 \) oder \( a=6, b=8 \), ob und wie die gegebene Gruppe einfacher geschrieben werden kann. Spekulieren Sie, was eine mögliche allgemeine Aussage sein könnte. (Die Antwort wird demnächst in der Vorlesung diskutiert.)

Problem/Ansatz:

Könnte sie bitte mir nur mit der Untergruppe helfen :((  Zusatzaufgabe brauche ich nicht. Danke!
Charakterisierung von Untergruppen scheint mir ganz unklar :'((((

Answer 1

Seien \( a, b \in \mathbb{Z} \) gegeben. Betrachten Sie die Menge \( H=\{m a+n b: m, n \in \mathbb{Z}\} \). Zeigen Sie, daß \( H \) eine Untergruppe von \( \mathbb{Z} \) ist.

Offenbar geht es um \( (\mathbb{Z},+) \).

Da musst du nur ein Untergruppenkriterium prüfen.

Z.B. (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Untergruppe#%C3%84quivalente_Definitionen)

Zu zwei beliebigen Elementen in {\displaystyle U}U ist auch deren Verknüpfung in {\displaystyle U}U, und mit jedem Element in {\displaystyle U}U auch dessen Inverses.

Also: Zwei beliebige Elemente aus H wären etwa ma+n b und pa+qb

Deren Verknüpfung (ma+n b) + (pa+qb)  =  (m+p)a + (n+q)b ist auch in H; denn mit

m,p aus Z ist auch m+p aus Z entsprechend auch n,q.

Das Inverse von ma+nb ist -(ma+nb) = (-m)a + (-n)b und mit m,n aus Z

sind auch -m und -n aus Z.  q.e.d.

Comments

Vielen Dank!!! Jetzt ist alles klar geworden, und eigentlich nicht so schwer :')

LG

Answer 2

Als Alternative will ich mal mit Kanonen auf Spatzen schießen:

\(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\) ist mit komponentenweiser

Addition offensichtlich eine Gruppe und

\(\varphi:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z},\; \varphi(m,n)=ma+nb\)

ist ein Gruppenhomorphismus. Das homomorphe Bild einer Gruppe ist

eine Untergruppe der Zielgruppe.