Vektoren-Oberflächeninhalt einer Pyramide berechnen-Wie?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich soll den Oberflächeninhalt einer Pyramide mit den Eckpunkten :

A(3/3/0)

B(1/1/4)

C(6/0/2)

und D(4/4/3) berechnen.

Kann mir jemand vielleicht helfen? Lösung mit verständlichem Rechenweg bitte. Sitze nämlich schon ein paar Stunden dran. Danke im Voraus

Answer 1

Der Oberflächeninhalt ist die Summe der Flächeninhalte der Dreiecke \(ABC\), \(ABD\), \(ACD\) und \(BCD\). Das ergibt sich aus der Definition von Oberflächeninhalt.

Formel für den Flächeninhalt \(F\) eines Dreiecks mit Grundseite \(g\) und Höhe \(h\) ist

        \(F=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h\).

Solche Informationen findet man in einer Formelsammlung.

Die Grundseite des Dreiecks kannst du beliebig wählen. In dem Dreieck \(PQR\) nehme ich als Beispiel \(PQ\) als Grundseite.

Die Länge der Grundseite ist dann der Abstand der Punkte \(P\) und \(Q\). Schau mal in deinen Unterlagen ob du eine Formel für den Abstand zweier Punkte findest.

Die Höhe ist der Abstand des Punktes \(R\) zur Geraden durch \(P\) und \(Q\). Schau mal in deinen Unterlagen ein Verfahren für den Abstand eines Punktes zu einer Geraden findest.

Comments

Okay danke! Aber könntest du mir nochmal erklären wie ich h rauskriege. Also ich verstehe wie man die Grundseite berechnet aber nicht wie man h berechnet.

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Paremterdarstellung der Geraden durch \(P\) und \(Q\) aufstellen:

        \(\vec{x} = \vec{OP} + r\cdot \vec{PQ}\).

Auf dieser Geraden gibt es einen Punkt \(M\), so dass \(PQ\) senkrecht zu \(MR\) ist. Dieser Punkt ist der Fusspunkt der Höhe.

Weil \(M\) auf der Geraden liegt, gilt

(1)        \(\vec{OM} = \vec{OP} + r\cdot \vec{PQ}\).

Weil \(PQ\) senkrecht zu \(MR\) ist, ist das Skalaprodukt 0, also

(2)        \(\vec{PQ} * \left(\vec{OP} + r\cdot \vec{PQ}\right) = 0\).

Mit Rechenregeln für Skalarprodukt kann man diese Gleichung umformen zu

(3)        \(r\cdot \vec{PQ}*\vec{PQ} = -\vec{PQ} * \vec{OP}\).

Gleichung (3) lösen um \(r\) zu bestimmen.

Lösung in (1) einsetzen um \(M\) zu bestimmen.

\(h\) ist der Abstand zwischen \(M\) und \(R\).

Answer 2

Eine Δ-Pyramide ist 1/6 des Prismas, das auf der zu einem Parallelogramm erweitern Grundfläche der Pyramide beruht

\(V=\left(\left(B - A \right) \otimes \left(C - A \right) \right) \; \left(D - A \right) \; \frac{1}{6}\)

Comments

Versteh ich nicht?

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Jetzt seh ich's auch, meine Antwort passt nicht zur Frage.

Ich hab das Volumen berechnet....

Mit dem Kreuzprodukt für die Flächen

|(B - A) ⊗ (D - A)| / 2 +

|(D - A) ⊗ (C - A)| / 2 +

|(B - C) ⊗ (D - C)| / 2 +

|(B - A) ⊗ (C - A)| / 2

Answer 3

Hallo,

wie Oswald schon schrieb, hast du vier Dreiecke. Die Höhen kannst du mit folgendem Verfahren berechnen:

Dreieck ABC

Grundseite AC = 4,69

Stelle die Gleichung der Geraden durch A und C auf:

\( g:\; \vec{x}=(3,3,0)+r\cdot (3,-3,2) \)

Bestimme den Lotfußpunkt F auf g. Lotfußpunkt heißt, die Gerade durch B und F ist senkrecht zu g. Daher muss das Skalarprodukt der Richtungsvektoren = 0 sein.

Da F auf g liegt, kann man seine Koordinaten so schreiben: F (3+3r|3-3r|2r)

Der Vektor BF ist \(\overrightarrow{BF}=\begin{pmatrix} 3+3r\\3-3r\\2r \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2+3r\\2-3r\\-4+2r \end{pmatrix}\\\)

Skalarprodukt = 0:

\(\begin{pmatrix} 3\\-3\\2 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} 2+3r\\2-3r\\-4+2r \end{pmatrix}=0\\\)

Daraus folgt \( r=\frac{4}{11} \)

In g eingesetzt ergibt \(F(\frac{45}{11}|\frac{21}{11}|\frac{8}{11})\)

Damit kannst du die Länge der Höhe berechnen.

Gruß, Silvia