Wie kann ich hier die Stichprobengröße n mit dem TI nspire berechnen?

Question

Es ist bekannt, dass sich rund \( 10 \% \) aller Personen in Österreich mit einem Virus infiziert haben. Wie viele Personen müssen zufällig getestet werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens eine positive Testung durchzuführen?

Wie kann ich hier die Stichprobengröße n mit dem TI nspire berechnen?

Answer 1

mindestens eine positive Testung

Gegenereignis ist "keine positive Testung".

Wie viele Personen müssen zufällig getestet werden

In Ermangelung sonstiger Angaben gehe ich davon aus, dass jede Testung ein korrektes Ergebnis liefert.

dass sich rund \( 10 \% \) aller Personen in Österreich mit einem Virus infiziert haben.

Dann haben sich \(90\%\) nicht infiziert.

Bei \(n\) Testungen ist dann die Wahrscheinlichkeit, keine positive Testung zu bekommen, \(0,9^n\).

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine positive Testung ist dann \(1 - 0,9^n\).

mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95\% mindestens eine positive Testung durchzuführen?

Dann muss

        \(1-0,9^n \geq 0,95\)

sein.

Löse also die Gleichung \(1-0,9^n = 0,95\).

Answer 2

Es unterschiedliche Modelle des TI-Nspire und bei jedem Modell auch noch verschiedene Möglichkeiten. Eine davon ist diese:

Answer 3

Das Gegenereignis von "mindestens eine positive Testung" ist "gar keine positive Testung".

Wenn das Ereignis eine Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% (also 0,95) haben soll, darf das Gegenereignis nur eine Wahrscheinlichkeit von maximal 0,05 haben.

Dieses Gegenereignis besteht im Baumdiagramm aus den einzigen Pfad

nicht positiv - nicht positiv - nicht positiv - ... - nicht positiv und hat bei n Testungen den Wert

0,9^n. Von 0,9^n wird gefordert, dass es ≤0,05 ist.

Löse also die Ungleichung 0,9^n ≤ 0,05 bzw. wenigstens die Gleichung 0,9^n =0,05.

Dafür bietet der Rechner mindestens 4 verschiedene Verfahren.