Aufgabe:
Auf den folgenden Mengen werde jeweils eine Vektoraddition und eine Skalarmultiplikation durch angegebene Vorschrift definiert. Untersuchen Sie, ob diese Mengen mit den jeweiligen Verknüpfungen Vektorräume über \( \mathbb{R} \) definieren.
(i) Die Menge \( \mathbb{R}^{2} \) mit \( v+w=\left(\begin{array}{c}w_{1}+v_{2} \\ w_{2}+v_{1}\end{array}\right) \) und \( \lambda \cdot v=\left(\begin{array}{l}\lambda v_{1} \\ \lambda v_{2}\end{array}\right) \).
(ii) Die Menge \( \left\{\left(\begin{array}{l}2 \\ x\end{array}\right) \mid x \in \mathbb{R}\right\} \) mit \( v+w=\left(\begin{array}{l}v_{1}+w_{1} \\ v_{2}+w_{2}\end{array}\right) \) und \( \lambda \cdot v=\left(\begin{array}{l}\lambda v_{1} \\ \lambda v_{2}\end{array}\right) \).
(iii) Die Menge \( \mathbb{R}^{2} \) mit \( v+w=\left(\begin{array}{l}v_{1}+w_{1} \\ v_{2}+w_{2}\end{array}\right) \) und \( \lambda \cdot v=\left(\begin{array}{c}0 \\ \lambda v_{2}\end{array}\right) \).
(iv) Die Menge \( \mathbb{R}^{2} \) mit \( v+w=\left(\begin{array}{c}v_{1}+w_{1} \\ v_{2}+w_{2}\end{array}\right) \) und \( \lambda \cdot v=\left(\begin{array}{c}v_{1} \\ \lambda v_{2}\end{array}\right) \).
(v) Die Menge \( \mathbb{R}^{2} \) mit \( v+w=\left(\begin{array}{c}v_{1} \\ v_{2}+w_{2}\end{array}\right) \) und \( \lambda \cdot v=\left(\begin{array}{l}\lambda v_{1} \\ \lambda v_{2}\end{array}\right) \).
(vi) Die Menge \( \mathbb{R}^{2} \) mit \( v+w=\left(\begin{array}{l}v_{1}+w_{1} \\ v_{2}+w_{2}\end{array}\right) \) und \( \lambda \cdot v=\left(\begin{array}{l}\lambda^{2} v_{1} \\ \lambda^{2} v_{2}\end{array}\right) \).
Problem/Ansatz:
Hey bin leider bei solchen beweisen oder untersuchen sehr schlecht, rechnen mit vektoren ist aber grundsätzlich kein problem. könnte mir vll wer beim 1. und oder 2. helfen dass ich weiß wie das auszusehen hat?
