Aloha :)
Wir suchen die positive Lösung der Gleichung von \(x^2=5\).
Wegen \(2^2=4\) und \(3^2=9\) wissen wir, dass \(2<x<3\) gelten muss.
Wir konstruieren das gesuchte \(x\) in einem Iterationsverfahren und starten mit \(x_0=2\).
Wenn \(x^2=5\) gilt, dann muss auch \(x=\frac5x\) gelten. Wir nehmen daher unseren Startwert für \(x\), berechnen \(\frac5x\), und nehmen dann den Mittelwert der beiden Werte als neuen Wert für \(x\).$$x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{5}{x_n}}{2}\quad;\quad x_0=2$$
Das liefert:$$x_0=2$$$$x_1=\frac{2+\frac52}{2}=2,25$$$$x_2=\frac{2,25+\frac{5}{2,25}}{2}=2,236\overline1$$$$x_3=\frac{2,236\overline1+\frac{5}{2,236\overline1}}{2}=2,236067977916\ldots$$
Das ist \(\sqrt5\) auf 10 Stellen genau ;)
