Eigenwerte Summe Matrix

Question

Aufgabe:

zu Zeigen: Wenn A∈ℝ^nxn   mit Eigenwerten λ₁ ,..., λ_n und B∈ℝ^nxn mit Eigenwerten μ₁,...,μ_n gegeben ist, dann hat A+B die Eigenwerte λ1+μ1,...,λn+μn.

Leider fehlt mir sogar ein Ansatz. Würde mich über Hilfe freuen

Danke!

Comments

λ_k+μ_k macht meines Erachtens keinen Sinn, wenn es keine Reihenfolge für die Eigenwerte gibt.

Answer 1

Hier ein Gegenbeispiel

Die Matrix \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) hat die Eigenwerte \( 1 \) und \( 0 \)

Die Matrix \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \) hat die Eigenwerte \( 1 \) und \( 0 \)

Die Matrix \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}  \) hat die Eigenwerte \( 1 \) und \( 1 \) sollte aber die Eigenwerte \( 2 \)  und \( 0 \) haben.