Aloha :)
Betrachte den Quotienten:
n1/32logn=2log(n1/3)2logn=231logn2logn=2logn−31logn
Der Exponent sieht so schlimm aus, wie er ist. Wir formen ihn wie folgt um:logn−31logn=−31(logn−3logn)=−31(logn−3logn+49−49)logn−31logn=−31(logn−3logn+49)+129=−31(log(n)−23)2+43
Damit können wir den Grenzwert unseres Quotienten von oben bestimmen:n→∞lim(n1/32logn)=n→∞lim2−31(log(n)−23)2+43=243⋅n→∞lim231(log(n)−23)21=243⋅0=0<∞
Daher gilt: 2logn∈O(n1/3)