Wahrscheinlichkeiten und so

Question

Aufgabe:

a) An einer mathematischenübung zu ”Grundlagen statistischer Methoden” sind beteiligt25 Studierende des 2. Semesters,8 Studierende des 4. Semesters,2 Studierende des 6. Semesters. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein abgegebenes Aufgabenblatt fehlerfrei ist, sei 0.5 für die zweiten, 0.7 für die vierten und 0.4 für die sechsten Semester. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein vorliegendes fehlerfreies Aufgabenblatt von einem Studierenden des 2. Semesters stammt?

b) In einer Klausur wird ein Multiple-Choice-Test durchgeführt. Auf eine Frage sind "n" Antworten möglich, genau eine ist richtig. Gut vorbereitete Studierende kreuzen die richtige Antwort an, schlecht vorbereitete kreuzen zufällig an. (p · 100)% der Teilnehmer sind gutvorbereitet. Mit welcher (bedingten) Wahrscheinlichkeit stammt ein richtiges Ergebnis von einem gut vorbereiteten Studierenden?

Problem/Ansatz:

Answer 1

a) An einer mathematischen übung zu ”Grundlagen statistischer Methoden” sind beteiligt25 Studierende des 2. Semesters,8 Studierende des 4. Semesters,2 Studierende des 6. Semesters. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein abgegebenes Aufgabenblatt fehlerfrei ist, sei 0.5 für die zweiten, 0.7 für die vierten und 0.4 für die sechsten Semester. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein vorliegendes fehlerfreies Aufgabenblatt von einem Studierenden des 2. Semesters stammt?

P(2. Semester | fehlerfrei)
= P(2. Semester UND fehlerfrei) / P(fehlerfrei)
= 25/35 * 0.5 / (25/35 * 0.5 + 8/35 * 0.7 + 2/35 * 0.4)
= 125/189
= 0.6614

Comments

b) In einer Klausur wird ein Multiple-Choice-Test durchgeführt. Auf eine Frage sind "n" Antworten möglich, genau eine ist richtig. Gut vorbereitete Studierende kreuzen die richtige Antwort an, schlecht vorbereitete kreuzen zufällig an. (p · 100)% der Teilnehmer sind gutvorbereitet. Mit welcher (bedingten) Wahrscheinlichkeit stammt ein richtiges Ergebnis von einem gut vorbereiteten Studierenden?

P(richtig | gut vorbereitet)
= P(richtig UND gut vorbereitet) / P(richtig)
= p·1 / (p·1 + (1 - p)·1/n)
= n·p/(n·p - p + 1)

Answer 2

a)

Der Satz von Bayes lautet, in heutiger Notation:

\(\displaystyle P(A \mid B)=\frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)} \)

Links vom Gleichheitszeichen steht das was hier gefragt wird, nämlich die bedingte Wahrscheinlichkeit für Zweitsemester (Ereignis A), wenn die Lösung richtig ist (Ereignis B).

Bekannt ist nur die Wahrscheinlichkeit für das Umgekehrte, nämlich 0,5 sowie P(A) = 25/35 und P(B) = (0,5 * 25 + 0,7 * 8 + 0,4 * 2) / 35 = 0,54. Das eingesetzt in die eingangs genannte Formel ergibt die gesuchte Wahrscheinlichkeit von ca. 61 Prozent.