Aloha :)
Zur Angabe einer Geradengleichung brauchst du einen Ankerpunkt und einen Richtungsvektor. Als Ankerpunkt können wir immer den jeweiligen Punkt \(A\) wählen. Als Richtungsvektor wählen wir den Vektor, der vom Punkt \(A\) zum Punkt \(B\) führt.
Wir machen das ausführlich für Teil (a) mit \(A(1|2|2)\) und \(B(5|-4|7)\).
Um von \(A\) nach \(B\) zu gelangen, muss die erste Komponente um \(4\) größer werden, die zweite Komponente um \(6\) kleiner und die dritte Komponente um \(5\) größer. Der Richtungsvektor ist also:$$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\-6\\5\end{pmatrix}$$Alternativ zu dieser Methode kannst du auch den Vektor \(\vec a\) vom Vektor \(\vec b\) subtrahieren:$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\begin{pmatrix}5\\-4\\7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-6\\5\end{pmatrix}$$Dahinter steckt die Überlegung, dass du zuerst vom Punkt \(A\) zurück zum Ursprung läufst, also den Vektor \((-\vec a)\) entlang, und dann vom Ursprung zum Punkt \(B\), also den Vektor \(\vec b\) entlang. Beide Vektoren addiert ergibt \((-\vec a+\vec b)\) oder auch \((\vec b-\vec a)\).
Die Geradengleichung lautet nun:$$g_a\colon\vec x=\vec a+s\cdot\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}4\\-6\\5\end{pmatrix}$$
Die beiden anderen Teilaufgaben führe ich dir nicht ausführlich vor, die kriegst du jetzt bestimmt alleine hin. Aber zur Kontrolle die Lösungen:$$g_b\colon\vec x=\begin{pmatrix}-3\\-2\\9\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\-6\end{pmatrix}$$$$g_c\colon\vec x=\begin{pmatrix}7\\-2\\7\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-6\\3\\-6\end{pmatrix}$$
