Geraden sind keine linearen Funktionen - Polynomfunktionen 1. Grades

Question

Hallo,

ich bin gerade ein bisschen verwirrt und bräuchte eure Hilfe:

Kann mir jemand erklären, warum Geraden keine linearen Funktionen sind, sondern Polynomfunktion 1. Grades? Also wie ich die Fachsprache hier korrekt verwende.

Ich weiß, dass eine Gerade das Schaubild oder der Graph einer linearen Funktion ist.

Warum sind Geraden keine linearen Funktionen?

Vielleicht weil nicht jede Gerade eine Funktion ist? Zum Beispiel x=2 ist keine Funktion, da jedem x-Wert mehrere y-Werte zugeordnet werden. Kann das dann trotzdem eine Polynomfunktion sein?

Vielen Dank vorab für Eure Hilfe!!

Comments

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Lineare_Funktion

Du musst hier zwei Namenskonventionen unterscheiden. Die oben häufig in der Schule anzutreffende:

Hier kann jede Gerade (außer die Geraden senkrecht zur x-Achse) als Graph einer Linearen Funktion betrachtet werden.

Linear heißt in dieser Sprechweise nur so viel wie "überall konstante Ableitung" bzw "Graph ist eine Gerade"

Dann gibt es noch den Begriff der Linearen Abbildung:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung

Das ist das was Tschakabumba in seiner Antwort beschriebt. Aber lineare Abbildungen bezeichnet man eigentlich nur selten als lineare Funktionen.

Eine lineare Funktion f(x)=mx+n (im ersten Sinn) ist genau dann linear (im zweiten Sinn) wenn n=0.

Answer 1

Aloha :)

Eine lineare Funktion muss immer die Null auf die Null abbilden, also den Funktionswert \(f(0)=0\) haben. Das folgt direkt aus der Linearität:$$f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2\cdot f(0)\quad\implies\quad f(0)=0$$

Eine Gerade hat die Form $$y(x)=m\cdot x+b$$und geht nur genau dann durch den Nullpunkt \((0|0)\), wenn \(b=0\) gilt. Für \(b\ne0\) ist eine Gerade also keine lineare Funktion.

Comments

Ah super, danke!!!

Dann ist nur die Ursprungsgerade eine lineare Funktion!

Hat mir sehr weitergeholfen!!

Answer 2

Da der Begriff der linearen Funktion keineswegs einheitlich gebraucht wird,

ist die Sache keineswegs so klar, wie hier dargestellt wurde.

Es ist absolut üblich, eine Funktion f(x)=mx+n eine lineare Funktion zu nennen,

z.B. in der Physik ist das üblicher Sprachgebrauch. Um den Begriff eindeutig zu machen,

unterscheidet man "künstlich" zwischen einer linearen Funktion

und einer linearen Abbildung. Eine lineare Funktion im hier

genannten Sinne ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn n=0 ist.