Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Menge aller Punkte, in denen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Menge aller Punkte, in denen
sie stetig sind.

Text erkannt:

(i)
\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{e^{x}-1}{x^{2}+(y-1)^{2}} & \text { falls } \quad(x, y) \in] 0, \infty[\times \mathbb{R} \\ 0 & \text { falls }(x, y) \in]-\infty, 0] \times \mathbb{R} \end{array}\right. \)
(ii)
\( g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{2}}{|x|+y^{2}}+3 & \text { falls } \quad(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \\ 3 & \text { für } x=y=0 . \end{array}\right. \)

Problem/Ansatz:

als erstes würde ich die stetigkeit beider kompositionen bestimmen, aber hab keinen plan wie..

vielen dank im voraus

Text erkannt:

(i)
\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{e^{x}-1}{x^{2}+(y-1)^{2}} & \text { falls } \quad(x, y) \in] 0, \infty[\times \mathbb{R} \\ 0 & \text { falls }(x, y) \in]-\infty, 0] \times \mathbb{R} \end{array}\right. \)
(ii)
\( g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{2}}{|x|+y^{2}}+3 & \text { falls } \quad(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \\ 3 & \text { für } x=y=0 . \end{array}\right. \)

Answer 1

Hallo :)

Unstetigkeitsstellen treten an den Stellen auf, wo die eine Funktion in die andere Übergeht. Das wäre bei beiden also die 0. Für den restlichen Definitionsbereich ist die Funktion als Verknüpfung stetiger Funktionen stetig. Das machst du am besten mit dem Folgenkriterium.

Comments

top, vielen dank :)

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Nur das wir uns richtig verstehen: bei den Übergängen können Unstetigkeitsstellen auftreten. Müssen aber nicht. Aber da musst du es überprüfen :)

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wie mache ich das bei ii? da x,y ja element vom r2 sind?

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Nimm die Folge (1/n,1/n) setz sie in deine Funktion ein und schau gegen was sie konvergiert... Konvergiert sie nicht gegen 0, dann wärst du fertig.

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Konvergiert sie nicht gegen 0

Gemeint ist : "gegen 3"

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Korrekt..... :)

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und was ist wenn sie gegen 3 konvergiert?, dann ist die funktion stetig oder?

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Nein :) denn das müsste für alle Nullfolgen gelten, hier hast du aber eine explizite genommen. Wenn du es aber richtig gemacht hast, dann brauchst du den Fall gar nicht betrachten. Trotzdem, gut dass du fragst

Answer 2

hallo bei i musst du ja nur x->0  y≠1 betrachten, das geht , mit L'Hopital

bei 2 versuch mit x=rcos(t), y=rsin(t) r->0 muss unabhängig von t sein.

Gruß lul

Comments

hallo bei i musst du ja nur x->0  y≠1 betrachten, das geht , mit L'Hopital

Du solltest beide Aussagen überdenken.