Hallo! Ich hab beim 2.Beweis ein paar Verständnisprobleme:
1. Wie kommt man darauf, dass x1=0 und lamna*0+my*x2=0 ist (ist das so, weil es ein homogenes LGS ist?)
2.Wie kommt man darauf, dass Ax Element kerU lamna, my=(0) ist und das deswegen Ax=0 ist?
Beim 3.Beweis verstehe ich nicht ganz, wie man am Ende darauf kommt, dass kerA=ker(P*A) ist.
Sati10.5 Die folgenden , elementaren zeilenumformungen" des
GauB - Algorthmus ändern die losungsmenge eines homogenen 2-2-LGS \( A \cdot x=0 \) nicht.
(1) Beim Multiplizieren einer Gleichung (zeile) muss das Shalar \( \mu \neq 0 \) sein.
(2) Escten von Gleichung(II) durch \( \lambda \) (I) \( +\mu \) (II), wabi \( \mu \neq 0 \) ist (siche (1)).
(3) Vertauschen der beiden Gleichungen (zeilen).
Beweis
(1) Ist ein Spezialfall von (2) für \( \lambda=0 \) (bzu. \( \mu=0 \) and \( \lambda=0 \), wenn es um Gleichung (I) gedht.
(2) 24 reigen: ker \( A=\operatorname{ker} A^{\prime} \)
dh. \( \Rightarrow \Rightarrow(A, O)=L(A, O) \)
(Th) \( \Rightarrow L(A, O) \subseteq L\left(A^{\prime} O\right) \) da \( A \cdot x=0 \) ind
\( A^{\prime} \cdot x=(U, \mu, A): x=U_{\lambda, \mu} \cdot(A \cdot x)=U_{\lambda, \mu} \cdot 0=0 \)
\( U_{\lambda \mu} \cdot x=0\left(U_{\lambda \mu}\right. \) is t trinal) und lautet ausgeschrieben
\( \left.\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ \lambda & \mu\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \lambda x_{1}+\mu x_{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}\vdots \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\right) \)
woraus \( x_{1}=0 \) und \( \lambda \cdot 0+\mu \cdot x_{2}=0 \) folgt, was wegen \( \mu \neq 0 \) aud \( x_{2}=0 \) eraningt.
\( \left(U_{1} M^{A} \cdot A\right) \cdot x=0 \)
Gilt, dass \( A^{\prime} \cdot x=0 \), d.h. \( U_{\lambda \mu} \cdot(A \cdot x)=0 \), so ist \( A \cdot x \in k e r U_{\lambda}, \mu=\{0\} \), also muss \( A \cdot x=0 \mathrm{sen} \).
Aus \( x \in L\left(A^{\prime} O\right) \) folgt, dass \( x \in L\left(A_{1} 0\right) \) ist.
(3) Um zeilen (I) und (II) zu vetauschen multipliziet man die zum L6S gehorende Matrix A mit der folgenden Permutationsmatrx Eine Pemutationsm ode auch vertauschunssm. Tot eine \( P=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right) \) Matrix, ei cles in jeler zeile \& in jede spate genau
Da \( P \) tiñalen kem besitzt, foldt wie in \( (2) \) her \( A=\operatorname{ker}(P \cdot A) \)
