Aufgabe:
Orthogonalität in Funktionenräumen \( (2+1+3+2) \)
(a) Zeige, dass die Funktionen \( f_{n}:[-1,1] \rightarrow \mathbb{C}, f_{n}(x)=\exp (2 \pi \mathrm{i} n x) / \sqrt{2} \) mit \( n \in \mathbb{Z} \) orthonormal bezüglich des Standard-Skalarproduktes
\( \langle f, g\rangle \equiv \int \limits_{-1}^{1} f^{*}(x) g(x) \mathrm{d} x \)
von \( L^{2}([-1,1]) \) sind.
(b) Die Funktionen \( f_{n} \) bilden eine orthonormale Basis nach der jede auf \( [-1,1] \) quadratintegrable Funktion \( f \) mit \( f(-1)=f(1) \) (periodische Randbedingung) entwickelt werden kann, sodass
\( f=\sum \limits_{k} f_{k} c_{k} . \)
Wie lauten die Koeffizienten \( c_{k} \) ? (Drücken Sie das Ergebnis durch das Skalarprodukt aus.)
(c) Wie lauten die Entwicklungskoeffizienten \( c_{k} \) von \( g_{1}(x)=\cos (2 \pi x), g_{2}(x)=\sin (2 \pi x) \), \( g_{3}(x)=\cos (2 \pi m x+\varphi) \) mit \( m \in \mathbb{Z} \) ?
(d) Welche Beziehung gilt zwischen den Koeffizienten \( c_{n} \) und \( c_{-n} \), wenn \( f \) (i) reell oder (ii) rein imaginär ist?
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S Aufgabe 8 (8 Punkte): Orthogonalität in Funktionenräumen \( (2+1+3+2) \)
(a) Zeige, dass die Funktionen \( f_{n}:[-1,1] \rightarrow \mathbb{C}, f_{n}(x)=\exp (2 \pi \mathrm{i} n x) / \sqrt{2} \) mit \( n \in \mathbb{Z} \) orthonormal bezüglich des Standard-Skalarproduktes
\( \langle f, g\rangle \equiv \int \limits_{-1}^{1} f^{*}(x) g(x) \mathrm{d} x \)
von \( L^{2}([-1,1]) \) sind.
(b) Die Funktionen \( f_{n} \) bilden eine orthonormale Basis nach der jede auf \( [-1,1] \) quadratintegrable Funktion \( f \) mit \( f(-1)=f(1) \) (periodische Randbedingung) entwickelt werden kann, sodass
\( f=\sum \limits_{k} f_{k} c_{k} . \)
Wie lauten die Koeffizienten \( c_{k} \) ? (Drücken Sie das Ergebnis durch das Skalarprodukt aus.)
(c) Wie lauten die Entwicklungskoeffizienten \( c_{k} \) von \( g_{1}(x)=\cos (2 \pi x), g_{2}(x)=\sin (2 \pi x) \), \( g_{3}(x)=\cos (2 \pi m x+\varphi) \) mit \( m \in \mathbb{Z} \) ?
(d) Welche Beziehung gilt zwischen den Koeffizienten \( c_{n} \) und \( c_{-n} \), wenn \( f \) (i) reell oder (ii) rein imaginär ist?
Hi Mathelounge,
ich bin dezent verwirrt und weiß nicht weiter /:
Jede Hilfe wäre mega!
