zu zeigen, dass Funktion lipschitzstetig ist

Question

Hallo,

ich benötige Hilfe bei dieser Aufgabe, da ich einfach nicht weiterkomme

Sei I ⊂ IR ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall und f : I → IR eine stetig differenzierbare Funktion.

z.z.: f ist lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante L = ∥f′∥_∞ ist. Insbesondere ist f also eine Kontraktion, wenn ∥f′∥_∞ < 1 und f(I) ⊂ I ist.

Ich bin dankbar für jede Hilfe!

LG

Comments

Benutze den Mittelwert Satz der Differentialrechnung

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Habe ich mir schon angeschaut gehabt, aber irgendwie komme ich damit auch nicht weiter, trotzdem danke für den tipp

Answer 1

Hallo,

Lipschitz-Stetigkeit verlangt die Existenz einer Konstante L>0 mit

$$\forall x,y \in I, x \neq y:\quad \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \leq L$$

Der Mittelwertsatz sagt, dass es zu x,y ein \(s \in I\) gibt mit:

$$ \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}=|f'(s)| \leq \|f'\|_{\infty}$$

Dabei garantierten die Voraussetzungen, dass \(\|f'\|_{\infty}\) existiert, d.h. endlich ist.