Bestimmen Sie Inneres, Abschluss und Rand der folgenden Teilmengen von (ℝ^{2},\|·\|_{2}) .

Question

Aufgabe:

Thema: Offenheit, Abgeschlossenheit, Vollständigkeit

(a) Bestimmen Sie Inneres, Abschluss und Rand der folgenden Teilmengen von \( \left(\mathbb{R}^{2},\|\cdot\|_{2}\right) \).

(i) \( M_{1}:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x>y\right\} \),
(ii) \( M_{2}:=\mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \).

(b) Seien \( (X,\|\cdot\|) \) ein normierter Vektorraum und \( A, B \subseteq X \). Man definiert die MinkowskiSumme von \( A \) und \( B \) durch
\( A+B=\{x \in X \mid \exists a \in A, b \in B: x=a+b\} . \)

(i) Sei \( B \) offen. Zeigen Sie, dass \( A+B \) offen ist.
(ii) Zeigen Sie, dass \( \bar{A}+\bar{B} \subseteq \overline{A+B} \).

Problem/Ansatz:

Wie löse ich diese Aufgabe? …

Answer 1

Zu (b):

(i): Zu \(a\in A\) sei \(f_a:X\rightarrow X\) definiert durch \(f_a(x)=x-a\).

\(f_a\) ist stetig, daher sind die Urbilder offener Mengen unter \(f_a\)

offen. Wir haben \(f_a^{-1}(B)=\{x\in X: \; f_a(x)\in B\}=\{a\}+B\).

\(\{a\}+B\) ist also offen für \(a\in A\), folglich ist

\(A+B=\bigcup_{a\in A}(\{a\}+B)\) offen.

(ii): Seien \(a\in \overline{A},\ b\in \overline{B}\).

Dann gibt es Folgen

\((a_n)\) mit \(a_n\in A\) und \(\lim a_n=a\), sowie

\((b_n)\) mit \(b_n\in B\) und \(\lim b_n=b\).

Es ist dann \(a+b=\lim a_n + \lim b_n=\lim (a_n+b_n)\), wobei

\(a_n+b_n\in A+B\) gilt, folglich ist \(a+b\in \overline {A+B}\).

Answer 2

Hallo,

zu a) i):

Offenbar ist \( M_1 \) offen, also ist \(M_1^{\circ} = M_1 \).

Weiter ist \( \partial{M_1} = \lbrace{(x,y)\in\mathbb{R^2}  :  x = y \rbrace}\) und damit \(\bar{M_1} = M_1^{\circ} \cup \partial{M_1} =  \lbrace{(x,y)\in\mathbb{R^2}  :  x \geq y \rbrace}\)