Zeigen Sie, dass es ein ξ ∈ [0,1] gibt mit f(ξ) = f(0) + f (1).

Question

Hallo, könnte jemand mit dieser Aufgabe helfen? Vielen Dank!

Sei f: [0,1] → Reine stetige Funktion mit f(0) · f(1) < 0 und f(0) + f(1) nicht gleich 0. Zeigen Sie, dass es ein ξ ∈ [0,1] gibt mit f(ξ) = f(0) + f (1).

Comments

Guten Tag,

haben Sie ihre Frage ihrem Tutor gestellt?

Grüße

Fachbereich Mathematik SoSe 2022
Prof. Dr. Thomas Streicher

Answer 1

Wegen f(0) + f(1) nicht gleich 0. ist g sinnvoll definiert

und  auch stetig auf [0;1].

Und es gilt g(0)=f(1) / ( f(0)+f(1) )

und  g(0)=f(0) / ( f(0)+f(1) ).

Da f(1) und f(0) verschiedene Vorzeichen haben (Produkt negativ),

haben g(0) und g(1) das auch.

Also gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein ξ  ∈ [0,1] mit g( ξ)=0

also f( ξ) / ( f(0)+f(1) )  - 1 = 0

<=>   f( ξ)  =  f(0)+f(1)

Answer 2

Der Hinweis ist doch deutlich! bring g(x) auf den Hauptnenner , dann musst du feststellen, dass g(x) eine Nullstelle im Intervall hat. Du wiesst sicher wie man das macht?

lul