Ungleichung ist z.z.

Question

Aufgabe:

(a²+b²)/(a+b)+(b²+c²)/(b+c)+(c²+a²)/(c+a)≥a+b+c

Problem/Ansatz:

Diese Ungleichung ist zu zeigen, wobei a,b,c positive reele Zahlen sind.

Mein Ansatz wäre zB die Summe der Variablen durch 1 zu ersetzen, da die Ungleichung homogen ist. Oder man könnte vielleicht mit ihrer Symmetrie etwas anfangen….

Comments

Ich sehe kein Ungleichheitszeichen.

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Ja, sorry. Habe es jetzt korrigiert

Answer 1

Für alle \(a,b\in\mathbb R\) mit \(a,b>0\) gilt$$\begin{aligned}&&(a-b)^2&\ge0\\&\iff&a^2-2ab+b^2&\ge0\\&\iff&2a^2+2b^2&\ge a^2+2ab+b^2\\&\iff&2(a^2+b^2)&\ge(a+b)^2\\&\iff&\frac{a^2+b^2}{a+b}&\ge\frac{a+b}2.\end{aligned}$$Mit \(c\in\mathbb R\) und \(c>0\) folgt$$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{a^2+c^2}{a+c}+\frac{b^2+c^2}{b+c}\ge\frac{a+b}2+\frac{a+c}2+\frac{b+c}2=a+b+c.$$

Comments

Danke Ihnen. Jetzt ist meine Seele beruhigt.