Normalvektor und Schnittwinkel 2 Ebenen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Ebenen

\( E_{1}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -3 \\ 4\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -2\end{array}\right), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R} \)
\( E_{2}:-4 x+5 y+5 z-2=0 . \)

Geben Sie dazu zunächst den Normalenvektor der Ebene E1 an und bestimmen Sie den Schnittwinkel α zwischen den Ebenen.

Problem/Ansatz:

Hallo...

ich hab den Normalvektor für E1 (-4,6,3) raus. Nun muss ich den Schnittwinkel a zwischen den 2 Ebenen berechnen.

Kann mir da jemand weiterhelfen?

Answer 1

Aloha :)

Einen Normalenvektor für \(E_1\) erhältst du aus dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektor:$$\vec n_1=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2-2\\0-(-6)\\3-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\6\\3\end{pmatrix}$$Einen Normalenvektor für \(E_2\) kannst du direkt ablesen:$$\vec n_2=\begin{pmatrix}-4\\5\\5\end{pmatrix}$$

Die Normalenvektoren stehen senkrecht auf ihren jeweiligen Ebenen, daher ist der Winkel zwichen den Ebenen gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren:

$$\cos\alpha=\frac{\vec n_1\cdot\vec n_2}{\|\vec n_1\|\cdot\|\vec n_2\|}=\frac{\begin{pmatrix}-4\\6\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-4\\5\\5\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}-4\\6\\3\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}-4\\5\\5\end{pmatrix}\right\|}=\frac{61}{\sqrt{61}\cdot\sqrt{66}}=\sqrt{\frac{61}{66}}\implies$$$$\alpha=\arccos\left(\sqrt{\frac{61}{66}}\right)\approx15,9764^\circ$$

Answer 2

Der Schnittwinkel zwischen den Ebenen ist gleich dem Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen.

Comments

ah ok danke sehr!