Rechnerisch mit Normalvektor den Winkel der gegenüberliegenden Fläche berechnen

Question

Wie kann ich mit Hilfe des Normalvektors zeigen, dass jede Kante mit den gegenüberliegenden Flächen ein Winkel von ... Grad hat? 3-Dimensionalen Dreieck

Answer 1

Um den Winkel einer Richtung (z.B. der Richtung einer Kante) in 3D - bzw. eines Vektors \(v\) - zu einer Fläche mit Normalenvektor \(n\) zu bestimmen, berechnet man den Winkel \(\alpha\) zwischen den Vektoren aus ihrem Skalarprodukt und ihren Längen $$v \cdot n = |v| \cdot |n| \cdot \cos \alpha\quad \implies \alpha = \arccos{\frac{v \cdot n}{|v| \cdot |n|}}$$ und diesen Winkel zieht man von \(90°\) ab. Man erhält den Winkel \(\varphi\) zwischen \(v\) und der betrachteten Fläche: $$\varphi = 90° - \alpha = 90° - \arccos{\frac{v \cdot n}{|v| \cdot |n|}}$$ ein Bild, um sich das besser vorstellen zu können:

 

(klick auf das Bild und rotiere die Szene mit der Maus)