Per Definition gilt
\(\begin{aligned} \partial A=\left\{x \in X \mid B_{\varepsilon}(x) \cap Y \neq \varnothing \neq B_{\varepsilon}(x) \cap(X \backslash Y) \text { für alle } \varepsilon>0\right\}, \quad \bar{A}=A^{\circ} \cup \partial A\end{aligned} \)
wobei \( A^{\circ} \) das Innere und \( \partial A \) der Rand von \( A \) sind. Den Abschluss von \( A \) bezeichnet man normalerweise mit \( \overline{{A}} \).
Zuerst zeigen wir \( \bar{A} \subseteq D_{A}^{-1}[\{0\}] \). Gilt für ein beliebiges \( a \in A \), dass \( a \in A^{\circ} \), so ist natürlich
\(\begin{aligned} D_{A}(a)=\inf _{y \in A} d(a, y)=d(a, a)=0 \Longrightarrow a \in D_{A}^{-1}[\{0\}] .\end{aligned} \)
Gilt hingegen \( a \in \partial A \) (Bemerkung: \( a \in \partial A \) bedeutet nicht unbedingt, dass \( a \in A \) ist!) so induziert die Definition des Randes eine Folge \( \left(a_{n}\right) \subseteq A \) mit \( a_{n} \rightarrow a \). Betrachten wir nun die Folge \( \left(D_{A}\left(a_{n}\right)\right) \) so ergibt sich
\(\begin{aligned} \forall n \in \mathbb{N}: D_{A}\left(a_{n}\right)=0 .\end{aligned} \)
Insbesondere muss also, sollte der Grenzwert existieren,
\(\begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} D_{A}\left(a_{n}\right)=0\end{aligned} \)
gelten. Nun ist \( D_{A} \) aber stetig und somit existiert der Grenzwert und wir haben
\(\begin{aligned} 0=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} D_{A}\left(a_{n}\right)=D_{A}\left(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}\right)=D_{A}(a) \Longrightarrow a \in D_{A}^{-1}[\{0\}] .\end{aligned} \)
Nun verbleibt noch \( D_{A}^{-1}[\{0\}] \subseteq \bar{A} \) zu zeigen. Sei also \( x \in D_{A}^{-1}[\{0\}] \) beliebig und wir unterscheiden wieder zwei Fälle: Gilt \( x \notin \partial A \) so existiert ein \( \epsilon>0 \) sodass
\(\begin{aligned} B(x, \epsilon) \cap A=\varnothing \operatorname{oder} B(x, \epsilon) \cap X \backslash A=\varnothing .\end{aligned} \)
Sollte ersteres gelten, wäre
\( \begin{aligned} \{0<\mathrm{d}(x, y)<\epsilon \mid y \in A\} \cap A=\varnothing & \Longrightarrow \forall y \in A: d(x, y)>c>0, \quad c \in \mathbb{R} \\ & \Longrightarrow \inf _{y \in A} d(x, y) \geqslant c>0 \\ & \Longrightarrow x \notin D_{A}^{-1}[\{0\}] . \end{aligned} \)
Das ist aber ein Widerspruch, also muss \( B(x, \epsilon) \cap X \backslash A=\varnothing \) gelten, womit \( x \in A^{\circ} \) folgt.
Der zweite Fall ist nun, dass \( x \notin A^{\circ} \) gilt. Es folgt
\(\begin{aligned} \forall \epsilon>0: \mathrm{B}(x, \epsilon) \nsubseteq \mathrm{A} \Longrightarrow \mathrm{B}(\mathrm{x}, \epsilon) \cap \mathrm{X} \backslash \mathrm{A} \neq \varnothing\end{aligned} \)
Sei nun \( \epsilon>0 \) beliebig. Wegen
\(\begin{aligned} D_{A}(x)=0 \Longrightarrow \inf _{y \in A} d(x, y)=0\end{aligned} \)
existiert also ein \( y^{*} \in A \) sodass
\(\begin{aligned} d\left(x, y^{*}\right) \leqslant \frac{\epsilon}{2}\end{aligned} \)
gilt. Gäbe es kein solches \( y^{*} \), so wäre \( \epsilon / 2>0 \) eine grössere untere Schranke, ein Widerspruch zur Definition des Infimums. Also gilt insbesondere
\(\begin{aligned} y^{*} \in B(x, \epsilon) \Longrightarrow B(x, \epsilon) \cap A \neq \varnothing\end{aligned} \)
Zusammen mit der obigen Definition von \( \partial A \) haben wir also \( x \in \partial A \) gezeigt und sind fertig.
