Rang einer Matrix in Abhängigkeit von Parametern bestimmen

Question

Aufgabe:

Für ein festes n aus den natürlichen Zahlen sowie Parameter a, b aus den reellen Zahlen ist folgende n x n Matrix gegeben:

$$\begin{pmatrix} a & b & b & b & ... & b & b \\ a & a & b & b & ... & b & b \\ a & a & a & b & ... &b & b \\ . \\ . \\ . \\ a & a & a & a & ... & b & b \\ a & a & a & a & ... & a & a \end{pmatrix}$$

Es soll nun der Rang der Matrix in Abhängigkeit von a und b bestimmt werden.

Problem/Ansatz:

Generell habe ich wenig Probleme beim lösen von Rang Aufgaben da man meist einfach den Gauß anwendet und am Ende die Zeilen zählt die ungleich Null sind. Allerdings sind hier nur Variablen gegeben und ich weiß nicht wirklich wie ich anfangen soll. Ich sehe dass pro Zeile ein b mit einem a getauscht wird, ich weiß jedoch nicht so ganz wie sich das dann auf den Rang der Matrix auswirkt.

Comments

Ist das letzte Element der letzten Zeile wirklich ein a, oder eher ein b ?

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Oder soll das vorletzte Element der vorletzten Zeile ein \(a\) sein? Würde Sinn machen, weil sonst alle Diagonalelemente gleich \(a\) sind.

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sehe gerade dass mir ein fehler unterlaufen ist, die vorletzte zeile hat ein a statt einem b an vorletzter stelle! damit wären auf der Hauptdiagonalen nur a's

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Und die vorletzte Zeile? So wie arsino?? vermutet?

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Hallo
fang an damit die erste Zeile von allen abzuziehen, dann die zweite Zeile, dann siehst du vielleicht schon ein Muster. für a=b ist der Rang natürlich sehr einfach! oder erstmal ne 3 mal3 matrix?
lul

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Für den Fall a = b habe ich Rang = 1 raus da in allen Zeilen außer der ersten, Nullzeilen entstehen. Als zweiten Fall mache ich gerade a != b, meine Vermutung ist, dass die Matrix dann vollen Rang hat kommt das hin oder hab ich hier nen Denkfehler?

Answer 1

Aloha :)

$$\left(\begin{array}{c}a & b & b & b & b & \cdots & b\\a & a & b & b & b & \cdots & b\\a & a & a & b & b & \cdots & b\\a & a & a & a & b & \cdots & b\\a & a & a & a & a & \cdots & b\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a & a & a & a & a & \cdots & a\end{array}\right)\to$$Subtrahiere die erste Spalte von allen anderen Spalten:$$\left(\begin{array}{c}a & b-a & b-a & b-a & b-a & \cdots & b-a\\a & 0 & b-a & b-a & b-a & \cdots & b-a\\a & 0 & 0 & b-a & b-a & \cdots & b-a\\a & 0 & 0 & 0 & b-a & \cdots & b-a\\a & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & b-a\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\end{array}\right)\to$$Subtrahiere die 2-te Spalte von allen Spalten rechts davon, die 3-te Spalte von allen Spalten rechts davon, die 4-te Spalte von allen Spalten rechts davon...$$\left(\begin{array}{c}a & b-a & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\a & 0 & b-a & 0 & 0 & \cdots & 0\\a & 0 & 0 & b-a & 0 & \cdots & 0\\a & 0 & 0 & 0 & b-a & \cdots & 0\\a & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\end{array}\right)\to$$

1. Fall \(a=0\) und \(b=0\)

Die Matrix ist die Null-Matrix ihr Rang ist \(0\).

2. Fall \(a=0\) und \(b\ne0\)

Die Matrix hat \((n-2)\) unabhängige Spaltenvektoren, ihr Rang ist \((n-2)\).

3. Fall \(a\ne0\) und \(a\ne b\)

Die Matrix hat \((n-1)\) unabhängige Spaltenvektoren, ihr Rang ist \((n-1)\).

4. Fall \(a\ne 0\) und \(a=b\)

Bis auf die erste Spalte enthält die Matrix nur Nullspalten, ihr Rang ist \(1\).

Comments

Vielen Dank für die detaillierte Hilfestellung!