Ellipsengleichung und Scheitelpunkte

Question

Aufgabe:

Von einer Ellipse lautet der Brennpunkt F (6/0) und ein Punkt auf der Ellipse (-8/2). Wie lauten die Scheitelkoordinaten und die Gleichung der Ellipse.

Problem/Ansatz:

Habe dieses Beispiel mehrmals versucht, komme aber nie auf die Lösung im Buch: Gleichung x^2+2y^2=72, Scheitelpunkte A = (\( \sqrt{72} \)/0), A' = (-\( \sqrt{72} \)/0), B = (0/6), B' (0/-6)

Answer 1

Verwende \(\frac{x^2}{a^2} +  \frac{y^2}{b^2} = 1 \)

und für die x-Koordinate des Brennpunktes \(  e=\sqrt{a^2-b^2}  \)

Einsetzen gibt\(  \frac{64}{a^2} +  \frac{4}{b^2} = 1 \)und \(  6=\sqrt{a^2-b^2}  \)

==>\(  \frac{64}{36+b^2} +  \frac{4}{b^2} = 1 \) und \(  36+b^2 =a^2  \)

==>  \(  64b^2   + 4(36+b^2)    = b^2(36+b^2) \)

==>  \(  b^4  -32b^2  - 144  = 0   \)

==> \(  (b^2 -36)(b^2+4) = 0  \)

==>  b^2=36 und damit a^2=72.

Answer 2

Eine mögliche Gleichung ist auch \( \frac{(x+8)^2}{200} \)+\( \frac{y^2}{4} \)=1

mit den Scheitelpunkten (-8±√200 |0) und (-8 | ±2).

Sicher hast du einen wesentlichen Fakt der Aufgabenstellung unterschlagen.

Comments

Die erste Hauptlage habe ich nicht erwähnt. Aber so, wie es uns beigebracht wurde, kann man davon ausgehen, dass die Beispiele sich immer auf die 1. Hauptlage beziehen, also habe ich nichts Wesentliches "unterschlagen".