Hallo,
Mein Ansatz: Ellipsengleichung (1/16)*x² + (1/4)*y² = 1 ...
Ist richtig. Besser ist aber die Darstellung, bei der man direkt die Halbachsen \(a\) und \(b\) ablesen kann:$$\begin{aligned}\frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} & = 1 \\ \frac {x^2}{4^2} + \frac {y^2}{2^2}&= 1\end{aligned}$$
Halbparameter a=4 b=2
Das ist nicht der (eine!) Halbparameter \(p\), sonder das sind die beiden Halbachsen \(a\) und \(b\). Der Halbparameter ist bei Ellipse und Hyperbel in Normallage definiert als$$p= \frac{b^2}{a}$$also ist hier \(p=1\).
Hyperbelgleichung: (1/16)*x² - (1/4)*y² = 1
das ist nicht richtig. Bei der Hyberpel soll \(e\) - also die Position der Brennpunkte - und \(p\) identisch zur Ellipse sein.
Brennpunkte F1(√12/0) F2(-√12/0)
das ist richtig \(e= \sqrt{12}\). Weiter gilt bei einer Hyperbel$$a^2 + b^2 = e^2$$ mit \(b^2 = pa\) (s.o.) folgt daraus$$\begin{aligned} a^2 + pa &= e^2 \\ a^2 + a - 12 &= 0 \\ a_{1,2} &= - \frac 12 \pm \sqrt{\frac 14 + 12} \\ a &= 3, \space \implies b = \sqrt 3 \end{aligned}$$der negative Wert entfällt. Folglich ist die gesuchte Hyperbel:$$\frac{x^2}{3^2} - \frac{y^2}{\left( \sqrt 3\right)^2} = 1$$
~plot~ 2*sqrt(1-(x/4)^2);sqrt(3)*sqrt((x/3)^2-1);{sqrt(12)|0};{-sqrt(12)|0};-2*sqrt(1-(x/4)^2);-sqrt(3)*sqrt((x/3)^2-1) ~plot~
da beide den gleiche Halbparameter \(p\) und die gleichen Brennpunkte haben, müssen sich die Kurven bei \(x=\pm e\) schneiden. Der Y-Wert an dieser Stelle ist \(|y(x=\pm e)| = p \).
