Berechne den Schnittpunkt der Ellipse und Hyperbel

Question

Berechne den Schnittpunkt der Ellipse $E(1,3)$ mit
der Hyperbel $H\left(\frac{1}{2}, 2\right)$.

Hier sind die Fromel für Elipsen und Hyperbel:

$H(a, b)=\left\{(x, y) \mid \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\right\}$

$E(a, b)=\left\{(x, y) \mid \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\right\}$

So, muss man jeweils die Punkte von  $E(1,3)$ in die Ellipse und $H\left(\frac{1}{2}, 2\right)$. in die Hyperbel einsetzen. Wenn man das gemacht hat, muss man die zwei gleichungen gleichsetzen?

Answer 1

Aloha :)

Wir haben hier zwei Graphen durch ihre Bestimmungsgleichungen gegeben:$$\frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\quad;\quad\frac{x^2}{\left(\frac12\right)^2}-\frac{y^2}{2^2}=1$$Wir stellen die erste Gleichung nach $y^2$ um und multiplzieren die zweite Gleichung mit $4$:$$y^2=9(1-x^2)\quad;\quad 16x^2-y^2=4$$Jetzt setzen wir $y^2$ aus der ersten Gleichung in die zweite Gleichung ein, um $x^2$ zu erhalten:$$4=16x^2-y^2=16x^2-9(1-x^2)=25x^2-9\implies x^2=\frac{13}{25}$$Wegen $y^2=16x^2-4$ folgt daraus:$$y^2=16x^2-4=16\cdot\frac{13}{25}-4=\frac{208}{25}-4=\frac{208}{25}-\frac{100}{25}=\frac{108}{25}$$

Damit haben wir 4 Schnittpunkte gefunden:

$$\left(-\frac{\sqrt{13}}{5}\,;\,-\frac{6\sqrt3}{5}\right)\;;\;\left(-\frac{\sqrt{13}}{5}\,;\,+\frac{6\sqrt3}{5}\right)\;;\;\left(+\frac{\sqrt{13}}{5}\,;\,-\frac{6\sqrt3}{5}\right)\;;\;\left(+\frac{\sqrt{13}}{5}\,;\,+\frac{6\sqrt3}{5}\right)$$

Plotlux öffnen

f₁(x) = √(9(1-x²))f₂(x) = √(16x²-4)f₃(x) = -√(9(1-x²))f₄(x) = -√(16x²-4)P(-√(13)/5|-6·√(3)/5)P(-√(13)/5|+6·√(3)/5)P(+√(13)/5|-6·√(3)/5)P(+√(13)/5|+6·√(3)/5)Zoom: x(-3…3) y(-5…5)

Comments

Sehr gut, Danke

Answer 2

Hallo,

Ellipse (1,3) :

x²+ y²/9= 1

Hyperbel:(1/2,2)

4x²-y²/4=1

-------------------------

1) x²+ y²/9= 1 ------------->x²= 1 -y²/9

2) 4x²-y²/4=1

-----------------------

1 in 2):

4x²-y²/4=1

4( 1 -y²/9) -y²/4=1

4- (4/9) y² -y²/4=1

- (4/9) y² -y²/4= -3 |*(-1)

(4/9) y² +y²/4 =3

(25/36) y² =3

y²= 108/25

y1,2=± √(108/25)

y1,2= ± (6/5) *√3

->

$x1=-\frac{\sqrt{13}}{5}, \quad y1=-\frac{6 \sqrt{3}}{5}$

$x2=-\frac{\sqrt{13}}{5}, \quad y2=\frac{6 \sqrt{3}}{5}$
$x3=\frac{\sqrt{13}}{5}, \quad y3=-\frac{6 \sqrt{3}}{5}$
$x4=\frac{\sqrt{13}}{5}, \quad y4=\frac{6 \sqrt{3}}{5}$

Answer 3

Ellipse:

$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1

E(1,3)

$\frac{x^2}{1}$+$\frac{y^2}{9}$=1→$\frac{x^2}{1}$=   1-$\frac{y^2}{9}$

Hyperbel:

$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1

H(1,2)

$\frac{x^2}{1}$-$\frac{y^2}{4}$=1   →$\frac{x^2}{1}$=  1+$\frac{y^2}{4}$

Schnittpunkte:

1-$\frac{y^2}{9}$= 1+$\frac{y^2}{4}$

-$\frac{y^2}{9}$= $\frac{y^2}{4}$

$\frac{y^2}{4}$+$\frac{y^2}{9}$=0|*36

9y²+4y²=0   →y=0      x=+-1

Comments

Ich habe bei der Hyperbel anstatt  H($\frac{1}{2}$ ,2)   aus Versehen H(1,2) eingesetzt.

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trotzdem vielen dank