Question

Berechne den Schnittpunkt der Ellipse \( E(1,3) \) mit
dem Kreis \( x^{2}+y^{2}=4 \)

Kann mir jemand erklären, wie man die schnittpunkte der kreise ausrechnet?

Comments

Erkläre doch bitte, was mit der Ellipse(1,3) gemeint sein soll.

Ich habe da zwar eine Vermutung, aber ich erwarte doch sehr, dass der Aufgabensteller selber seine Aufgaben klar verständlich formuliert !

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Sorry, Also unter einer Elipse gibt es ja diese formel:

\( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \)

Jetzt weiß ich nicht was man wo einsetzen soll.

Also die Punkte \( E(1,3) \) muss ich ja in die Formel einsetzen, Was danach kommt, ist mir halt ein rätsel.

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Naja, mit der "Ellipse (1,3)"  war wohl diejenige mit a=1 und b=3 (und Zentrum im Nullpunkt) gemeint.

Tschakabumba hat das auch so interpretiert.

Ich finde aber immer noch, dass sowas explizit in der Aufgabenstellung klar gemacht werden sollte. Andernfalls könnten wir ja beispielsweise einfach etwa "Parabel P(3,-2)" schreiben, wenn etwa die Kurve mit der Gleichung  y = 3 x² - 2  gemeint sein sollte.

Answer 1

Aloha :)

Du kannst die Ellipsengleichung umformen:$$E(1;3)\colon\;\frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\implies x^2+\frac{y^2}{9}=1$$Andereiseits können wir auch die Kreisgleichung umstellen:$$x^2+y^2=4\implies x^2=4-y^2$$Diesen Term für \(x^2\) setzen wir nun in die Ellipsengleichung ein:

$$1=x^2+\frac{y^2}{9}=\left(4-y^2\right)+\frac{y^2}{9}=4-\frac{8}{9}\,y^2\implies-3=-\frac89\,y^2\implies y^2=\frac{27}8$$Das setzen wir in die Kreisgleichung ein, um \(x^2\) zu bestimmen:$$x^2=4-y^2=4-\frac{27}{8}=\frac{32}{8}-\frac{27}{8}=\frac58$$

Damit gibt es 4 Schnittpunkte:

$$\left(-\sqrt{\frac{5}{8}}\,;\;-\sqrt{\frac{27}{8}}\right)\;;\;\left(-\sqrt{\frac{5}{8}}\,;\;+\sqrt{\frac{27}{8}}\right)\;;\;\left(+\sqrt{\frac{5}{8}}\,;\;-\sqrt{\frac{27}{8}}\right)\;;\;\left(+\sqrt{\frac{5}{8}}\,;\;+\sqrt{\frac{27}{8}}\right)$$

~plot~ sqrt(4-x^2) ; sqrt(9(1-x^2)) ; -sqrt(4-x^2) ; -sqrt(9(1-x^2)) ~plot~

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Wenn du mir meine bei der andere aufgabe auch hilfst wäre ich dir sehr dankbar.

Du musst es ja nicht komplett vorrechnen. Tipps und reichen ja auch