Tangentialer Übergang Ellipse/Kreis - Position des Kreises innerhalb der Ellipse bestimmen

Question

Problemstellung:

Mein Ziel ist es einen Kreis so innerhalb einer Ellipse so platzieren, dass dieser genau zwei Berührpunkte besitzt und die Ellipse tangential in den Kreis übergeht. Die Ellipse ist dabei fest definiert sowie der Durchmesser des Kreises. Der Mittelpunkt des Kreises muss auf der x-Achse liegen und die Ellipse liegt im Ursprung. Wie kann ich die Position des Kreises bestimmen?

Ansatz:

In folgender Grafik habe ich versucht das Problem schematisch aufzuzeigen. Der Kreis wandert dabei quasi so lange entlang der x-Achse, bis dieser letztendlich die Ellipse berührt, was in einem tangentialen Übergang der beiden Formen resultiert. Wie kann ich nun diese unbekannte Position des Kreises auf der x-Achse bestimmen?

Text erkannt:

\( 0-0 \)

Mein Ziel wäre ein allgemeingültiges Gleichungssystem, welches ich für die Lösung dieses Problems verwenden kann.

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Nehme doch einfach die Gleichung der Ellipse $$E:\quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1$$ und die eines beliebigen um den Wert \(d\) aus dem Ursprung verschobenen Kreises $$K:\quad (x-d)^2 + y^2 = r^2$$ und setze das \(y^2\) aus der Kreisgleichung in die Gleichung der Ellipse ein.

Du erhältst eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten \(x\). Die Berührbedingung bedeutet, dass nur eine (statt 2) Lösungen möglich ist. Daraus folgt, dass der Ausdruck unter der Wurzel in der Lösungsformel der quadratischen Gleichung 0 sein muss. Damit lässt sich das \(d\) berechnen. Es ist$$d^2=\left(1-\left(\frac{a}{b}\right)^{2}\right)\left(r^{2}-b^{2}\right)$$

Hier noch ein Desmos-Script, welches das demonstriert

Die schwarzen Punkten lassen sich mit der Maus verschieben

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank, das beantwortet meine Frage. Doch viel simpler als gedacht. Die Annahme mit dem Ausdruck unter der Wurzel hatte mir gefehlt.