Kreis rollt in Ellipse ab

Question

Ein Kreis rollt in einer Ellipse ab. Hier die Skizze.
r ist der Kreisradius, a und b wären die Halbachsen der Ellipse.

Wie heißt die Funktion für die roten Punkte ( Kreismittelpunkte ) ?

Ein Link auf eine Internetseite würde bereits genügen.

Comments

ist das der Hintergrund zu dieser Frage:

https://www.mathelounge.de/257927/komplizierte-umformung#c258006

???

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Auch.
Der Ursprung ist
https://www.mathelounge.de/257646/tangentiale-kreise-an-ellipsen

Dies ist aber ein ziemlicher Wust.
Besser man konzentriert sich auf diese Anfrage.

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@mathef
a = 6
b = 4.59627
r = 2



Zunächst wurde der Schnittpunkt grün mit Ellipse berechnet:
Dann wurde der Steigungswinkel ermittelt.
Über den Winkel wurde delta(x) und delta(y) zum Schnittpunkt berechnet
Der Mittelpunkt des Kreises ergibt sich zu M ( 2.87 | 1.78 )

Nun dein Vorschlag
Dann wurde die allgemeine Ellipsengleichung verwendet.
Wobei von a und b jeweils r abgezogen wurde.
Es ergab sich ein Mittelpunkt von
M ( 2.87 | 1.39 ).

Die beiden Mittelpunkte stimmen nicht überein.

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Na ja, dann ist es wohl doch etwas komplexer.

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Nach den hier gegebenen Antworten und der Rechereche im Internet
scheint die ganze Angelegenheit doch sehr kompliziert zu sein.

Als ( Vor- ) Lösungsterme werden bereits Terme erhalten in denen das Gesuchte
20 mal oder noch mehr vorkommt und die dann noch weiter umgestellt werden
müssen.

Ein Computerprogramm ( bin selbst Programmierer ) das sich an die richtige
Lösung für

https://www.mathelounge.de/257646/tangentiale-kreise-an-ellipsen

herantastet wäre vielleicht eine Möglichkeit.

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Dies ist kein Kommentar.
ich brauche lediglich einmal den Plotter.

~plot~ 4.59627 / 6 * sqrt ( 6^2 - x^2 ) ;4.59627 / 6 * sqrt ( 6^2 - x^2 ) - 0.5; [[ 0 | 6 | 0 | 5 ]] ;  {1.3316|2.4402};{1.7658|2.3158};{2.191|2.1514};{2.6037|1.9429};{2.9991|1.6831};{3.3709|1.3586};{3.7095|0.9347};{4|0.05}
~plot~

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ich habe fertig:

http://tube.geogebra.org/material/show/id/1517743

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Schön gemacht.
Das Abrollen auf der inneren Ellipse ( rote Kreismittelpunkte )
ist aber im Sachzusammenhang nicht notwendig. Oder?

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Gibt es für die schwarze Ellipse einen Funktionsterm ?
Den suchen wir ja.

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Rot ist die Spur der Achse des innen abrollenden Rades - darum ging es ja soweit ich die Originalaufgabe verstanden habe. Blau ist dort m.E. nicht gefragt worden, aber das ist nur ein Vorzeichenwechsel, dann rennt das Rädchen auf der anderen Seite.

Schwarz ist die Ellipse - die farbigen Spuren sind KEINE Ellipsen!

(abgesehen von bestimmten Sonderfällen, die man mit den Schiebereglern einstellen kann)

Die Regler a und b geben den Radius der (schwarzen) Ellipse von Ursprung bis fernster Punkt in x bzw. y- Richtung an.

Der Regler r ist der Radius der Planetenräder.

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Gibt es für die schwarze Ellipse einen Funktionsterm ?

Die Funktionsgleichungen sind untendran in meiner Antwort dargestellt .

Weiterentwicklung habe ich dann in der Originalanfrage gemacht - das müsstest Du ja mitbekommen haben.

Die schwarze Ellipse ist ja das langweiligste von dem Ganzen - das ist einfach die parametrisierte Halbachsengleichung.

Brauchst Du die in cartesischer Form:    y(x)= blablabla ...

???

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Von außen nach innen
blau - schhwarz - rot

Es geht um die mittlere ( schwarze ) Kurve
Davon hätte ich gerne f ( x )

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$$ \vec E(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\    b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} $$ bedeutet nicht anderes als:
$$y(t)=  a \cdot \sin (\omega t)$$
$$x(t)=   b \cdot \cos (\omega t)$$
Die Gleichung mit dem x lösen wir nach kleinomegatee auf:
$$\frac{x(t)}{b}=   \cos (\omega t)$$
$$\arccos\left(\frac{x(t)}{b}\right)=  \omega t$$
und setzen das in die Gleichung mit dem Üpsilong ein:
$$y(t)=  a \cdot \sin \left(\arccos\left(\frac{x(t)}{b}\right)\right)$$
Jetzt ist die Variable t nicht mehr da und die Winkelgeschwindigkeit ist auch verschwunden, also sind Icks und Üpsilong nicht mehr vom Tee abhängig.
$$y(x)=  a \cdot \sin \left(\arccos\left(\frac{x}{b}\right)\right)$$
Ich stelle grad fest, dass ich in meiner Animation a und b genau andersrum verwechselt habe...
Also hier in der Umstellung ist b der horizontale Halbachsenradius auf der Ix-Axe.
Is ja logisch - was passiert denn sonst, wenn das x grösser wird als das b ?
Das Argument wird grösser als 1 und Arcus sagt "Neee"

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Hallo pleinsdespoir,

schönen Dank für deine Mühen. Leider kann ich, weil mir der
theoretische Hintergrund fehlt, deinen Ausführungen nicht folgen.

Es gelang es mir auch nicht darstellen was ich will.

Wir gehen einmal von meiner ersten Skizze in diesem Strang aus.

Dort ist eine halbe Ellipse mit den Halbachsen a und b zu sehen.

In dieser Ellipse rollt ein Kreis mit dem Radius r ab.

Gesucht ist der Funktionsterm der Kreismittelpunkte ( rot ).
( diese Funktion ist keine Ellipse ).

f ( a,b, r ) = ...

In der Plotterskizze ( 8 Beiträge nach oben ) ist die blaue Kurve die
Funktion der Ellipse. Die schwarzen Punkte sind Punkte des Kreismittel-
punkts. a = 6 b = 4.59627, r = 2.
Die rote Kurve ist hier nicht von Belang.

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$$\vec R_r(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\    b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} -  \frac {r} { \,  \sqrt{  a^2 \cdot  \,  \cos^2 (\omega t)+ b^2 \cdot   \,  \sin^2 (\omega t) }}\,  \,\cdot \,\begin{pmatrix}       b \cdot   \,  \sin (\omega t)\\  a \cdot  \,  \cos (\omega t) \end{pmatrix}$$

Ist die Formel, um die Bewegung der Achse des innen ablaufenden Rades darzustellen.

Eine Umstellung dieser Funktion in die Form y(x)= ... dürfte kaum machbar und wenig sinnvoll sein.

Die Ellipsengleichung zur Erinnerung nochmal:

$$\vec E(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\    b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} $$

Answer 1

Ist das nicht einfach die Ellipse mit den um r verkürzten Halbachsen ?

Comments

Ich denke nicht.

Die Skizze zeigt die Ellipse und 2 Normale.
Auf der Normalen wäre vom Schnittpunkt Ellipse/Normale der Radius r
abzutragen.
Ich denke da wird keine normale Ellipse herauskommen.

Ich werde aber einmal nachrechnen.

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@mathef
Siehe den Kommentar ( handschriftlich ) oben

Answer 2

Ich hab da mal was zu gebastelt:

Ellipsenkarussel.ggb (6 kb)

Comments

"Dies ist aber ein ziemlicher Wust."

Wust ichs doch ... eine CNC Fertigungsaufgabe!

Nehmen wir mal an, die Ellipse liegt im Ursprung und besitzt die Radien a und b.

Dann könnte man die Parameterfunktionsgleichung bilden: $$\vec E(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\    b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} $$

und deren Ableitung: $$\vec E'(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \omega \,  \cos (\omega t)\\     - b \cdot  \omega \,  \sin (\omega t) \end{pmatrix} $$

Die Tangentengleichung lautete:
$$\vec T(t)= \vec E(t) + \lambda \cdot  \frac {\vec E'(t)}{|\vec E'(t)|}$$
Die Normalengleichung:
$$\vec N(t)= \vec E(t) + \mu \cdot  \frac {1} {|\vec E'(t)|} \cdot \begin{pmatrix} y(\vec E'(t) )\\-x( \vec E'(t)   ) \end{pmatrix}$$
Nun könnte der Radius des Planetenrades eingesetzt werden:

$$\vec R_r(t)= \vec E(t) +  \frac {r} {|\vec E'(t)|} \cdot \begin{pmatrix} y(\vec E'(t) )\\-x( \vec E'(t)   ) \end{pmatrix}$$

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 Scheinbar hat da keiner Lust, das weiterzubedenken - ich finds aber interessant und spinne das mal weiter:
 $$\vec E(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\    b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} $$ $$\vec E'(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \omega \,  \cos (\omega t)\\     - b \cdot  \omega \,  \sin (\omega t) \end{pmatrix} $$
$$\vec R_r(t)= \vec E(t) +  \frac {r} {|\vec E'(t)|} \cdot \begin{pmatrix} y(\vec E'(t) )\\-x( \vec E'(t)   ) \end{pmatrix}$$
$$\vec R_r(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\    b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} +  \frac {r} {| \begin{pmatrix} a \cdot \omega \,  \cos (\omega t)\\     - b \cdot  \omega \,  \sin (\omega t) \end{pmatrix}|} \cdot  \begin{pmatrix}      - b \cdot  \omega \,  \sin (\omega t)\\  -a \cdot \omega \,  \cos (\omega t) \end{pmatrix}$$
$$\vec R_r(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\    b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} +  \frac {r} {\sqrt{ ( a \cdot \omega \,  \cos (\omega t))^2+(    - b \cdot  \omega \,  \sin (\omega t) )^2}} \cdot  \begin{pmatrix}      - b \cdot  \omega \,  \sin (\omega t)\\  -a \cdot \omega \,  \cos (\omega t) \end{pmatrix}$$
$$\vec R_r(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\    b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} +  \frac {r} { \omega \, \cdot \,  \sqrt{ ( a \cdot  \,  \cos (\omega t))^2+(    - b \cdot   \,  \sin (\omega t) )^2}} \cdot  \begin{pmatrix}      - b \cdot  \omega \,  \sin (\omega t)\\  -a \cdot \omega \,  \cos (\omega t) \end{pmatrix}$$
$$\vec R_r(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\    b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} +  \frac {r} { \omega \, \cdot \,  \sqrt{ ( a \cdot  \,  \cos (\omega t))^2+(    - b \cdot   \,  \sin (\omega t) )^2}}\, \cdot \, (-\omega) \,\cdot \,\begin{pmatrix}       b \cdot   \,  \sin (\omega t)\\  a \cdot  \,  \cos (\omega t) \end{pmatrix}$$
$$\vec R_r(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\    b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} -  \frac {r} { \,  \sqrt{ ( a \cdot  \,  \cos (\omega t))^2+(    - b \cdot   \,  \sin (\omega t) )^2}}\,  \,\cdot \,\begin{pmatrix}       b \cdot   \,  \sin (\omega t)\\  a \cdot  \,  \cos (\omega t) \end{pmatrix}$$
$$\vec R_r(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\    b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} -  \frac {r} { \,  \sqrt{  a^2 \cdot  \,  \cos^2 (\omega t)+ b^2 \cdot   \,  \sin^2 (\omega t) }}\,  \,\cdot \,\begin{pmatrix}       b \cdot   \,  \sin (\omega t)\\  a \cdot  \,  \cos (\omega t) \end{pmatrix}$$

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Scheinbar hat da keiner Lust, das weiterzubedenken

Lust schon aber ich kann das leider nicht.

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Schaumada:

ich habe fertig!

http://tube.geogebra.org/material/show/id/1517743

Answer 3

Anfangsellipse \( \frac{x^2}{25} +\frac{y^2}{16}=1 \)

Vorgehensweise: 1.)

blaue Punkte von A bis E. Tangenten an die Ellipse , Normale . Kreise mit Radius \(r=1\) ergeben die Punkte F bis J. Kegelschnitt durch diese 5 Punkte ergibt die blaue Ellipse \(-3385,71x^2-5,3xy-6000,37y^2+24,95x-1,5y=-53937\)

2.) gleiche Vorgehensweise mit den Magentapunkten ergibt die Ellipse \(-3586x^2-17,73xy-6369,29y^2-94,3x+173,82y=-57201,58\)

Auffällig sind nun die unterschiedlichen Funktionsgleichungen. Eine braune Ellipse \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) ist nun wie das Bild suggeriert identisch mit den vorherigen Ellipsen.

Comments

wie Du richtig fest gestellt hast, ergibt diese Äquidistante (siehe Parallelkontur) keine Ellipse. Und das ist eigentlich auch sofort klar, wenn man sich vorstellt, dass der Radius des abrollenden Kreises in die Nähe von \(b\) - der kleineren Halbachse der Ellipse - kommt.

https://www.desmos.com/calculator/7wtnkwgxf6

Verschiebe mal den blauen Punkt auf der Y-Achse nach unten oder den schwarzen Punkt auf der X-Achse nach links.

Der gestrichelte Kreis links ist der Krümmungskreis im Hauptscheitel. Will man mit einem Fräser ein ellipsenförmiges Loch schneiden, darf der Fräskopf nicht größer sein, als dieser Kreis.

Gruß Werner

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Btw.: dieser Sachverhalt war bereits den Erbauern der römischen Amphitheater bekannt. Zumindest bei denen, die eben nicht kreis- sondern (ungefähr!) ellipsenförmig gebaut wurden.

Hier sollten nämlich alle Sitzreihen stets gleich breit sein! Und man kann sich recht fix an Hand obigen Beispiels überlegen, dass dies mit Ellipsen nicht zu machen ist. Aus diesem Grund sind diese Amphitheater auch nicht genau ellipsenförmig, sondern aus mehreren Kreissegmenten zusammen gesetzt. So auch beim Kollosseum in Rom.

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Danke dir für deinen erklärenden Kommentar und die schöne Visualisierung.