Berechne den Schnittpunkt der Ellipse und Hyperbel

Question

Berechne den Schnittpunkt der Ellipse \( E(1,3) \) mit
der Hyperbel \( H\left(\frac{1}{2}, 2\right) \).

Hier sind die Fromel für Elipsen und Hyperbel:

\( H(a, b)=\left\{(x, y) \mid \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\right\} \)

\( E(a, b)=\left\{(x, y) \mid \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\right\} \)

So, muss man jeweils die Punkte von  \( E(1,3) \) in die Ellipse und \( H\left(\frac{1}{2}, 2\right) \). in die Hyperbel einsetzen. Wenn man das gemacht hat, muss man die zwei gleichungen gleichsetzen?

Answer 1

Aloha :)

Wir haben hier zwei Graphen durch ihre Bestimmungsgleichungen gegeben:$$\frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\quad;\quad\frac{x^2}{\left(\frac12\right)^2}-\frac{y^2}{2^2}=1$$Wir stellen die erste Gleichung nach \(y^2\) um und multiplzieren die zweite Gleichung mit \(4\):$$y^2=9(1-x^2)\quad;\quad 16x^2-y^2=4$$Jetzt setzen wir \(y^2\) aus der ersten Gleichung in die zweite Gleichung ein, um \(x^2\) zu erhalten:$$4=16x^2-y^2=16x^2-9(1-x^2)=25x^2-9\implies x^2=\frac{13}{25}$$Wegen \(y^2=16x^2-4\) folgt daraus:$$y^2=16x^2-4=16\cdot\frac{13}{25}-4=\frac{208}{25}-4=\frac{208}{25}-\frac{100}{25}=\frac{108}{25}$$

Damit haben wir 4 Schnittpunkte gefunden:

$$\left(-\frac{\sqrt{13}}{5}\,;\,-\frac{6\sqrt3}{5}\right)\;;\;\left(-\frac{\sqrt{13}}{5}\,;\,+\frac{6\sqrt3}{5}\right)\;;\;\left(+\frac{\sqrt{13}}{5}\,;\,-\frac{6\sqrt3}{5}\right)\;;\;\left(+\frac{\sqrt{13}}{5}\,;\,+\frac{6\sqrt3}{5}\right)$$

~plot~ sqrt(9(1-x^2)) ; sqrt(16x^2-4) ; -sqrt(9(1-x^2)) ; -sqrt(16x^2-4) ; {-sqrt(13)/5|-6*sqrt(3)/5} ; {-sqrt(13)/5|+6*sqrt(3)/5} ; {+sqrt(13)/5|-6*sqrt(3)/5} ; {+sqrt(13)/5|+6*sqrt(3)/5} ; [[-3|3|-5|5]] ~plot~

Comments

Sehr gut, Danke

Answer 2

Hallo,

Ellipse (1,3) :

x^2+ y^2/9= 1

Hyperbel:(1/2,2)

4x^2-y^2/4=1

-------------------------

1) x^2+ y^2/9= 1 ------------->x^2= 1 -y^2/9

2) 4x^2-y^2/4=1

-----------------------

1 in 2):

4x^2-y^2/4=1

4( 1 -y^2/9) -y^2/4=1

4- (4/9) y^2 -y^2/4=1

- (4/9) y^2 -y^2/4= -3 |*(-1)

(4/9) y^2 +y^2/4 =3

(25/36) y^2 =3

y^2= 108/25

y1,2=± √(108/25)

y1,2= ± (6/5) *√3

->

\( x1=-\frac{\sqrt{13}}{5}, \quad y1=-\frac{6 \sqrt{3}}{5} \)

\( x2=-\frac{\sqrt{13}}{5}, \quad y2=\frac{6 \sqrt{3}}{5} \)
\( x3=\frac{\sqrt{13}}{5}, \quad y3=-\frac{6 \sqrt{3}}{5} \)
\( x4=\frac{\sqrt{13}}{5}, \quad y4=\frac{6 \sqrt{3}}{5} \)

Answer 3

Ellipse:

\( \frac{x^2}{a^2} \)+\( \frac{y^2}{b^2} \)=1

E(1,3)

\( \frac{x^2}{1} \)+\( \frac{y^2}{9} \)=1→\( \frac{x^2}{1} \)=   1-\( \frac{y^2}{9} \)

Hyperbel:

\( \frac{x^2}{a^2} \)-\( \frac{y^2}{b^2} \)=1

H(1,2)

\( \frac{x^2}{1} \)-\( \frac{y^2}{4} \)=1   →\( \frac{x^2}{1} \)=  1+\( \frac{y^2}{4} \)

Schnittpunkte:

1-\( \frac{y^2}{9} \)= 1+\( \frac{y^2}{4} \)

-\( \frac{y^2}{9} \)= \( \frac{y^2}{4} \)

\( \frac{y^2}{4} \)+\( \frac{y^2}{9} \)=0|*36

9y^2+4y^2=0   →y=0      x=+-1

Comments

Ich habe bei der Hyperbel anstatt  H(\( \frac{1}{2} \) ,2)   aus Versehen H(1,2) eingesetzt.

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trotzdem vielen dank