Schnittpunkte und den Schnittwinkel der Ellipse und Hyperbel

Question

Aufgabe:

Ell: 4x^2+9y^2=36

Hyp: 4x^2-y^2=4

Problem/Ansatz:

Berechnen die Schnittpunkte und den Schnittwinkel.

Schnittpunkte habe ich schon :

(+_1.34/ +_1.78)

Aber wie findet man den Winkel??

Bitte um Hilfe

Answer 1

Ein Schnittpunkt ist bei:

x = 3/5·√5 ∧ y = 4/5·√5

Du brauchst nur die Winkel der beiden Tangentensteigungen nehmen.

4·x^2 + 9·y^2 = 36 --> y = 2·√(9 - x^2)/3 → y' = -2·x/(3·√(9 - x^2))

4·x^2 - y^2 = 4 --> y = 2·√(x^2 - 1) → y' = 2·x/√(x^2 - 1)

atan(-2·(3/5·√5)/(3·√(9 - (3/5·√5)^2))) - atan(2·(3/5·√5)/√((3/5·√5)^2 - 1)) = -90°

Sie schneiden sich also im rechten Winkel.

Answer 2

Ell: \(4x^2+9y^2=36\)    Hyp: \(4x^2-y^2=4\)→  \(y^2=4x^2-4\)

Schnittpunkte:

\(4x^2+9 \cdot (4x^2-4)=36\)

\(x^2= \frac{9}{5} \)       \(y^2=4\cdot \frac{9}{5}-4=\frac{16}{5}\)

\(x_1=\frac{3}{5}\sqrt{5}\)     \(x_2 \) wird nicht benötigt.

\(y_1=\frac{4}{5}\sqrt{5}\)

Winkelberechnung für die Ellipse:

\(e(x,y)=4x^2+9y^2-36\)

\(e_x(x,y)=8x\)

\(e_y(x,y)=18y\)

\(e'(x)=-\frac{e_x(x,y)}{e_y(x,y)}=-\frac{8x}{18y)}=-\frac{4x}{9y}\)

\(e'(\frac{3}{5}\sqrt{5})=-\frac{4\cdot\frac{3}{5}\sqrt{5}}{9\cdot \frac{4}{5}\sqrt{5}}=-\frac{1}{3}\)

Für die Hyperbel:

\(h(x,y)=4x^2-y^2-4\)

\(h_x(x,y)=8x\)

\(h_y(x,y)=-2y\)

\(h'(x)=-\frac{8x}{-2y}=\frac{4x}{y}\)

\(h'(\frac{3}{5}\sqrt{5})=\frac{4\cdot \frac{3}{5}\sqrt{5}}{\frac{4}{5}\sqrt{5}}=3\)

Somit stehen die Tangenten senkrecht aufeinander.

Comments

Wie kann man einer so schönen Aufgabe so eine hässliche Lösung verpassen?

Gut, den Fragesteller interessiert es nach 5 Jahren nicht mehr, was hier für eine mathematische Umweltverschmutzung abgelassen wurde.

Falls es doch einen zufällig hereinschauenden Neu-Leser interessiert:

Das Gleichungssystem

Ell: 4x²+9y²=36
Hyp: 4x²-y²=4

löst man wesentlich eleganter durch Subtraktion der beiden Gleichungen.

Man erhält sofort 10y²=32 ...

Winkelberechnung für die Ellipse:

Ein seriöser Antwortgeber würde hier benennen, dass es sich bei "Winkel" um den Steigungswinkel der Tangente handelt.

Lustigerweise wird Winkel trotz großspuriger Ankündigung nicht mal berechnet (ist auch nicht nötig), denn in Wirklichkeit werden nur die Anstiege berechnet.

Es erschließt sich mir auch nicht, warum man für so eine elementare Angelegenheit Funktionen mit zwei Variablen ins Spiel bringt. Der Antwortgeber reitet hier mal wieder sehr mechanisch sein überzüchtetes Steckenpferd.

Davon, dass die Tangentengleichungen im Punkt (x0,y0) hier die Form

4x·x₀+9y·y₀=36

bzw.

4x·x₀-y·y₀=4

haben, hat er wohl auch noch nie etwas gehört. Das vereinfacht die Aufgabe nämlich ungemein.