Schnittwinkel 90° von Ellipse und Hyperbel durch implizite Differentiation prüfen

Question

es geht um die folgende Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Ellipse x^2+2y^2=2 und die Hyperbel  2x^2-2y^2=1 sich senkrecht in \(\mathbb{R}^2\) schneiden.

Hinweis: Verwenden Sie implizite Differentiation.

ich habe die Lösung größtenteils. nur ich komme nicht auf das Ergebnis in der Musterlösung. mir fehlt da ein zwischenschritt... (habe es hier mit ? markiert)

Und was ich nicht verstehe ist, wieso bei "-1" die Ellipse und das Hyperbel sich schneiden? wieso nicht bei =0?

mfg

danke im voraus.

Answer 1

Letzter Satz so:

Ellipse und Hyperbel schneiden sich rechtwinklig. 

Rchtwinklig schneiden heisst: Das Produkt der beiden Steigungen ist -1. 

D.h. du musst beim Fragezeichen wohl y_(1)' (x)' * y_(2)' (x) rechnen und bei x die Schnittstelle einsetzen, wenn du sie kennst. 

Tipp: Um die Schnittstelle(n) zu berechnen brauchst du noch nicht partiell abzuleiten. 

Comments

ah ok vielen dank... hatte wohl nen rechenfehler... mit wolfram komme ich auf -1... wann schneiden die sich nicht? bei 0? was ist bei 1 oder 2 usw?

mfg

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Berechne die Schnittstellen ruhig.

Beide Gleichungen lassen sich einfach auf 2y^2 umformen.

Gleichsetzen 2y^2 = 2y^2 und du hast eine Gleichung, die nur noch x enthält.

EDIT: Ich glaube, du hast die 4 (?) Schnittpunkte zu Beginn schon ausgerechnet.

D.h. du kannst jeweils x und y in den Ableitungen einsetzen.

Schreibe nicht LGS, sondern einfach GS (Gleichungssystem).

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Bitte.

Noch etwas: Ich glaube, du hast nicht implizit differenziert in den Zeilen, die mit dy beginnen. Falls die Frage diesen Weg vorgibt, müsstest du mir erst mal noch zeigen, was in deiner Rechnung genau eine implizite Ableitung sein soll.

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also da steht als Hinweis. verwende implizite differentiation.

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https://www.mathelounge.de/110873/schnittwinkel-zwischen-ellipse-und-hyperbel-berechnen

kam auch ohne implizite Differentiation aus.

Warum leitest du dann nicht implizit ab?

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die Ellipse x^2+2y^2=2 und die Hyperbel  2x^2-2y^2=1

implizit abgeleitet (ohne Gewähr)

Ellipse': 2x + 4y*y'  = 0 und Hyperbel' 4x - 4y*y' = 0

Nun zur Kontrolle mal links und rechts die Koordinaten eines Schnittpunkts einsetzen und y' berechnen. Dann die beiden y' miteinander multiplizieren. Kommst du auf -1?

Answer 2

Zeigen Sie, dass die Ellipse \(x^2+2y^2=2\) und die Hyperbel \(2x^2-2y^2=1\) sich senkrecht in \(\mathbb{R}^2\) schneiden.

\(e(x,y)=x^2+2y^2-2\)

\(e_x(x,y)=2x\)

\(e_y(x,y)=4y\)

\(e'(x)=-\frac{e_x(x,y)}{e_y(x,y)}=-\frac{x}{2y}\)

Schnittpunkt:

1.)    \(x^2+2y^2=2\)

2.)   \(2x^2-2y^2=1\)   1.)+2.): \(3x^2=3\)     \(x^2=1\)

\(x_1=1\)          \(1+2y^2=2\)     \(y^2=\frac{1}{2}\)     \(y_1=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\)

\(e'(1)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(h(x,y)=2x^2-2y^2-1\)

\(h_x(x,y)=4x\)

\(h_y(x,y)=-4y\)

\(h'(x)=-\frac{4x}{-4y}=\frac{x}{y}\)

\(h'(1)=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}\)

\(e'(1)\cdot h'(1) =-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{2}=-1\)

Somit schneiden sich die beiden Graphen senkrecht.