Zeigen Sie, dass die Ellipse \(x^2+2y^2=2\) und die Hyperbel \(2x^2-2y^2=1\) sich senkrecht in \(\mathbb{R}^2\) schneiden.
\(e(x,y)=x^2+2y^2-2\)
\(e_x(x,y)=2x\)
\(e_y(x,y)=4y\)
\(e'(x)=-\frac{e_x(x,y)}{e_y(x,y)}=-\frac{x}{2y}\)
Schnittpunkt:
1.) \(x^2+2y^2=2\)
2.) \(2x^2-2y^2=1\) 1.)+2.): \(3x^2=3\) \(x^2=1\)
\(x_1=1\) \(1+2y^2=2\) \(y^2=\frac{1}{2}\) \(y_1=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\)
\(e'(1)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(h(x,y)=2x^2-2y^2-1\)
\(h_x(x,y)=4x\)
\(h_y(x,y)=-4y\)
\(h'(x)=-\frac{4x}{-4y}=\frac{x}{y}\)
\(h'(1)=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}\)
\(e'(1)\cdot h'(1) =-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{2}=-1\)
Somit schneiden sich die beiden Graphen senkrecht.