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xn+1 =xn +xn−1 (n∈N)


(a) Zeige, dass A diagonalisierbar ist und bestimme eine invertierbare Matrix T mit
T−1AT = D, wobei D eine Diagonalmatrix ist.

(b) Finde eine explizite (d. h. nicht rekursive) Formel für das Folgenglied xn, für beliebiges n ∈ N.
Hinweis: An = T(T−1AT)nT−1 für alle n ∈ N.


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Gehört es zur Aufgabe, zu raten, was A ist? Wenn ja, weißt Du es schon?

Gehört es zur Aufgabe, zu raten, was A ist?

Nee - sowas weiß man ;-)$$\begin{pmatrix} x_{n+1}\\x_{n} \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}_{=A}\begin{pmatrix} x_{n}\\x_{n-1} \end{pmatrix}$$

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Wie von Werner schon hingeschrieben gilt

$$ (1) \quad \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} x_n \\ x_{n-1} \end{pmatrix} $$ und sei \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

\( A \) hat zwei verschieden Eigenwerte \( \alpha \) und \( \beta \) die Lösung der Gleichung \( \lambda^2 - \lambda - 1 = \) sind.

Wegen dem Satz von Vieta gilt für die beiden Lösungen

$$ (2) \quad \alpha + \beta = 1 $$ und

$$ (3) \quad \alpha \cdot \beta = -1 $$

Aus (1) folgt durch mehfache Anwendung die Gleichung

$$ (4) \quad \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ x_n \end{pmatrix} =  A^n \begin{pmatrix} x_1 \\ x_0 \end{pmatrix} $$

Die Matrix \( A \) kann diagonalisiert werden durch die Matrix

\( T = \begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ \beta & 1 \end{pmatrix} \) und es gilt

\( T^{-1} A T = D = \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} \)

Damit gilt

$$ (5) \quad \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ x_n \end{pmatrix} =  T D^n T^{-1} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_0 \end{pmatrix} $$

dabei gilt \( D^n = \begin{pmatrix} \alpha^n & 0 \\ 0 & \beta^n \end{pmatrix} \)

Mit den Anfangswerten \( x_1 = x_0 = 1 \) folgt aus (5)

$$  \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ x_n \end{pmatrix} = \frac{1}{\beta-\alpha} \begin{pmatrix} \alpha^{n+1}(\beta-1) + \beta^{n+1}(1-\alpha) \\ \alpha^n(\beta-1) + \beta^n(1-\alpha) \end{pmatrix} $$

Wegen (2) folgt jetzt

$$ \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ x_n \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} \alpha^{n+2} - \beta^{n+2} \\ \alpha^{n+1} - \beta^{n+1} \end{pmatrix} $$ also

$$ x_n = \frac{ \alpha^{n+1} - \beta^{n+1} } { \sqrt{5} } $$

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