Berechnen Sie die Fläche A, welche von f_1 und f_2 eingeschlossen wird.

Question

Gegeben seien die zwei Funktionen f₁(x)=2x²−3x−4 und f₂(x)=1x²+3x−12.

Berechnen Sie die Fläche A, welche von f₁ und f₂ eingeschlossen wird.  

A= 

Answer 1

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Comments

Differenzfunktion

d(x) = f1(x) - f2(x) = x^2 - 6·x + 8

Schnittstellen

d(x) = 0 --> x = 2 ∨ x = 4

Stammfunktion

D(x) = 1/3·x^3 - 3·x^2 + 8·x

Fläche (gerichtet)

A = ∫ (2 bis 4) d(x) dx = D(4) - D(2) = 16/3 - 20/3 = - 4/3

Antwort

Der Flächeninhalt beträgt 4/3 Flächeneinheiten.

Answer 2

Gegeben seien die zwei Funktionen \(f_1(x)=2x^2−3x−4\) und \(f_2(x)=x^2+3x−12\). Berechnen Sie die Fläche A, welche von \(f_1\) und \(f_2\) eingeschlossen wird.

Berechnung der Schnittpunkte:
\(2x^2−3x−4=x^2+3x−12\)
\(x^2−6x=−8\)
\((x−3)^2=−8+9=1|±\sqrt{~~}\)
1.)
\(x−3=1\)
\(x_1=4\)
2.)
\(x−3=-1\)
\(x_2=2\)
Differenzfunktion:
\(d(x)=2x^2−3x−4-(x^2+3x−12 )=x^2-6x+8\)
\(A=\int\limits_{2}^{4}(x^2-6x+8)dx=[\frac{1}{3}x^3-3x^2+8x]_{2}^{4}\\=\frac{64}{3}-48+32]-[\frac{8}{3}-12 +16 ]=|-\frac{4}{3}|=\frac{4}{3} \) FE

Comments

Gleichungskette ist falsch.

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Habe Nachsicht, es ist M. (und er ist mit der Gesamtsituation überfordert).

Ein seriöser Antwortgeber hätte sich vorher einen Überblick verschafft, wer oben liegen darf...

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... und die Antwort von 2022 ist zu eurer Zufriedenheit?

Wenn man immer nur draufhauen kann, ist man zufrieden??

( Und die Geschichte mit "Hoffentlich nur Musik und Werklehrer" !!!)

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Mach halt keine groben Schnitzer.

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Es geht hier um Deine Lösung, nicht die von anderen.

Und hier haut keiner drauf, sondern es wird Deine Lösung sachlich kritisiert, und das zurecht. Der freundliche Jumanji hat Dir schonmal empfohlen, einfach mal andere Lösungen solcher Aufgaben anzuschauen (nicht solche in Foren wie diesen hier, sondern in Büchern und Skripten). Diesen Tipp hast Du nicht befolgt. Ist Dir das zu aufwendig? Wenn Du weiter ohne fundierte Kenntnis zum Fach und zum geordneten Aufschreiben Deine "Lösungen" präsentierst, werden Deine Beiträge weiter Kritik einsammeln.

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Ich sag’ meinen Schülern immer, dass ein negatives Vorzeichen nichts ausmacht. Du berechnest halt die gerichtete Fläche und die kann durchaus negativ sein. Im Antwortsatz gibt man dann eben an, die Fläche beträgt ...

Weiterhin ist es schlauer, die Schnittstellen direkt über die vereinfachte Differenzfunktion zu bilden.

f(x) = g(x) → f(x) - g(x) = 0 → d(x) = 0

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Dennoch würde ich für das, was Du als ‚gerichtete Fläche‘ bezeichnest, nicht denselben Buchstaben wie für den Flächeninhalt verwenden.

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Dennoch würde ich für das, was Du als ‚gerichtete Fläche‘ bezeichnest, nicht denselben Buchstaben wie für den Flächeninhalt verwenden.

Dann habe ich gute Neuigkeiten für dich. Ich habe gerade demokratisch beschlossen, dass du natürlich auch einen anderen Buchstaben benutzen darfst. Auch jeder andere, wenn es ihm beliebt.

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Noch einer, der keine Kritik abkann :-)

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Das merkst du jetzt erst? Du hattest vor einiger Zeit mal im Chat gefragt, warum die Stimmung hier so ist... sollte ja nun langsam klar werden. :)

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Ist jetzt das Ergebnis dieser Diskussion, dass in der Antwort von Moliets die vorletzte "Gleichung" unkorrigiert bleiben kann: -4/3=4/3 ?

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Da steht doch:

\(A=|-\frac{4}{3}|=\frac{4}{3} \)

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In Deiner Rechnung steht (nach Zusammenfassung) -4/3=4/3

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Siehst du die beiden Striche nicht?

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Was ist der Wert des Integrals?

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Der Wert des Integrals ist \(-\frac{4}{3} \)

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Also steht in Deiner GLEICHUNGSkette am Anfang Integral(...)=-4/3 und am Ende |-4/3|=4/3.

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Vielleicht hätte ich besser so geschrieben?

\(\int\limits_{2}^{4}(x^2-6x+8)dx=[\frac{1}{3}x^3-3x^2+8x]_{2}^{4}\\=\frac{64}{3}-48+32]-[\frac{8}{3}-12 +16 ]=-\frac{4}{3}\)

Da nun eine Fläche keine negative Größe haben kann:

\(A=|-\frac{4}{3}|=\frac{4}{3}\)FE

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Teste Dich selbst:

f(x) = 2x ; g(x) = 3 - x²

Berechne die Fläche, die von den beiden Graphen und der Parallelen zur y-Achse bei x = 2 eingeschlossen wird.

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@ Moliets: Ja, das meinte ich.

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Es sind 2 Flächen \(A_1\) und \(A_2\) zu berechnen

1.) Für \(A_1\)

\(d(x)=2x-(3-x^2)=x^2+2x-3 \)

\(x^2+2x-3=0 \)    →  \(x^2+2x+1=3+1=4 \)  →

 \( (x+1)^2=4 \)  →  \(x_1=1 \)   und  \(x_2=-3 \) 

\( \int\limits_{1}^{2}(x^2+2x-3)dx=[ \frac{1}{3}x^3+x^2-3x] _{1}^{2}=[ \frac{8}{3}+4-6]-[ \frac{1}{3}+1-3]=\frac{7}{3}\)

Wert des Integrals ist \( \frac{7}{3}\)

\(A_1= \frac{7}{3}\)FE

2.) Für \(A_2\)

\(d(x)=3-x^2-2x=-x^2-2x+3 \)  → \(-x^2-2x+3=0 \)

\(x_1=1 \)  und   \(x_2=-3 \)

\(  \int\limits_{-3}^{1} (-x^2-2x+3)dx=[- \frac{1}{3}x^3-x^2+3x]_{-3}^{1}\\=[ -\frac{1}{3}-1+3 ] - [9 -9-9  ] \\=[ -\frac{1}{3}+2] - [-9  ] =11-\frac{1}{3}=\frac{32}{3}\)

Wert des Integrals ist \( \frac{32}{3}\)

\(A_2= \frac{32}{3}\)FE

\(A=13\)FE

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Gut.

Kannst Du denn auch eine Formel zur Berechnung der Gesamtfläche mittels EINES EINZIGEN Integrals aufschreiben? (Ohne weitere Rechnung)

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Kannst Du denn auch eine Formel zur Berechnung der Gesamtfläche mittels EINES EINZIGEN Integrals aufschreiben?

Nein, das ist in meinen Augen nicht möglich, weil das Integral ja in den Begrenzungen \(x=-3\) bis \(x=2\)aufgestellt werden müsste.

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Doch, es geht (sonst hätte ich nicht gefragt). Denk an die Betragsfunktion. (Die Symbole f(x) und g(x) reichen, keine Notwendigkeit, die konkreten Funktionen hinzuschreiben. Dadurch wird auch die Formel klarer).

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Notiere mir das mal bitte. Meiner Ansicht nach ist das schon ein universitäres Problem und im Schulunterricht noch nicht möglich.

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Vielleicht so:

$$A = \int \limits_{-3}^{2} |f(x) - g(x)| ~dx = 13$$

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$$A = \int \limits_{-3}^{2}|f(x)-g(x)|dx \\ \text{ aber nicht, auch wenn es sehr ähnlich aussieht: } \\ |\int \limits_{-3}^{2}(f(x)-g(x))dx|$$

Den Betrag hast Du doch oben selber genutzt…

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Meiner Ansicht nach ist das schon ein universitäres Problem und im Schulunterricht noch nicht möglich.

Heutzutage Bestandteil des Abiturs (auch wenn das viele Lehrer kaum vermitteln). Wie es damals war, keine Ahnung. Kann mir aber nicht vorstellen, dass es damals nicht gab. Die Berechnung erfolgt dann tatsächlich durch Aufteilung des Integrals durch Fallunterscheidung oder eben mit dem GTR/CAS.

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Also zu meiner Abizeit 1967 gab es nicht mal Betragsgleichungen bzw Betragsungleichungen und Integration von Beträgen schon gar nicht und Taschenrechner nix.

Da ist doch das herkömmliche Verfahren wesentlich einfacher.

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Betragsgleichungen bzw Betragsungleichungen und Integration von Beträgen

All das tritt in dieser Aufgabe gar nicht auf.

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Das habe ich alles aufgeführt, weil die Integration von Beträgen angesprochen waren.