Berechnen Sie die Fläche A, welche von f_1 und f_2 eingeschlossen wird.

Question 1

Gegeben seien die zwei Funktionen f₁(x)=2x²−3x−4 und f₂(x)=1x²+3x−12.

Berechnen Sie die Fläche A, welche von f₁ und f₂ eingeschlossen wird.

A=

Question 2

Wobei hast du konkret Probleme? Nutze Online Tools wie z.B. Wolframalpha, um schnell Kontrollergebnisse zu bekommen.

Question 3

Differenzfunktion

d(x) = f1(x) - f2(x) = x^2 - 6·x + 8

Schnittstellen

d(x) = 0 --> x = 2 ∨ x = 4

Stammfunktion

D(x) = 1/3·x^3 - 3·x^2 + 8·x

Fläche (gerichtet)

A = ∫ (2 bis 4) d(x) dx = D(4) - D(2) = 16/3 - 20/3 = - 4/3

Antwort

Der Flächeninhalt beträgt 4/3 Flächeneinheiten.

Question 4

Gegeben seien die zwei Funktionen $f_1(x)=2x^2−3x−4$ und $f_2(x)=x^2+3x−12$. Berechnen Sie die Fläche A, welche von $f_1$ und $f_2$ eingeschlossen wird.

Berechnung der Schnittpunkte:
$2x^2−3x−4=x^2+3x−12$
$x^2−6x=−8$
$(x−3)^2=−8+9=1|±\sqrt{~~}$
1.)
$x−3=1$
$x_1=4$
2.)
$x−3=-1$
$x_2=2$
Differenzfunktion:
$d(x)=2x^2−3x−4-(x^2+3x−12 )=x^2-6x+8$
$A=\int\limits_{2}^{4}(x^2-6x+8)dx=[\frac{1}{3}x^3-3x^2+8x]_{2}^{4}\\=\frac{64}{3}-48+32]-[\frac{8}{3}-12 +16 ]=|-\frac{4}{3}|=\frac{4}{3} $ FE

Question 5

Gleichungskette ist falsch.

Question 6

Habe Nachsicht, es ist M. (und er ist mit der Gesamtsituation überfordert).

Ein seriöser Antwortgeber hätte sich vorher einen Überblick verschafft, wer oben liegen darf...

Question 7

... und die Antwort von 2022 ist zu eurer Zufriedenheit?

Wenn man immer nur draufhauen kann, ist man zufrieden??

( Und die Geschichte mit "Hoffentlich nur Musik und Werklehrer" !!!)

Question 8

Mach halt keine groben Schnitzer.

Question 9

Es geht hier um Deine Lösung, nicht die von anderen.

Und hier haut keiner drauf, sondern es wird Deine Lösung sachlich kritisiert, und das zurecht. Der freundliche Jumanji hat Dir schonmal empfohlen, einfach mal andere Lösungen solcher Aufgaben anzuschauen (nicht solche in Foren wie diesen hier, sondern in Büchern und Skripten). Diesen Tipp hast Du nicht befolgt. Ist Dir das zu aufwendig? Wenn Du weiter ohne fundierte Kenntnis zum Fach und zum geordneten Aufschreiben Deine "Lösungen" präsentierst, werden Deine Beiträge weiter Kritik einsammeln.

Question 10

Ich sag’ meinen Schülern immer, dass ein negatives Vorzeichen nichts ausmacht. Du berechnest halt die gerichtete Fläche und die kann durchaus negativ sein. Im Antwortsatz gibt man dann eben an, die Fläche beträgt ...

Weiterhin ist es schlauer, die Schnittstellen direkt über die vereinfachte Differenzfunktion zu bilden.

f(x) = g(x) → f(x) - g(x) = 0 → d(x) = 0

Question 11

Dennoch würde ich für das, was Du als ‚gerichtete Fläche‘ bezeichnest, nicht denselben Buchstaben wie für den Flächeninhalt verwenden.

Question 12

Dennoch würde ich für das, was Du als ‚gerichtete Fläche‘ bezeichnest, nicht denselben Buchstaben wie für den Flächeninhalt verwenden.

Dann habe ich gute Neuigkeiten für dich. Ich habe gerade demokratisch beschlossen, dass du natürlich auch einen anderen Buchstaben benutzen darfst. Auch jeder andere, wenn es ihm beliebt.

Question 13

Noch einer, der keine Kritik abkann :-)

Question 14

Das merkst du jetzt erst? Du hattest vor einiger Zeit mal im Chat gefragt, warum die Stimmung hier so ist... sollte ja nun langsam klar werden. :)

Question 15

Ist jetzt das Ergebnis dieser Diskussion, dass in der Antwort von Moliets die vorletzte "Gleichung" unkorrigiert bleiben kann: -4/3=4/3 ?

Question 16

Da steht doch:

$A=|-\frac{4}{3}|=\frac{4}{3} $

Question 17

In Deiner Rechnung steht (nach Zusammenfassung) -4/3=4/3

Question 18

Siehst du die beiden Striche nicht?

Question 19

Was ist der Wert des Integrals?

Question 20

Der Wert des Integrals ist $-\frac{4}{3} $

Question 21

Also steht in Deiner GLEICHUNGSkette am Anfang Integral(...)=-4/3 und am Ende |-4/3|=4/3.

Question 22

Vielleicht hätte ich besser so geschrieben?

$\int\limits_{2}^{4}(x^2-6x+8)dx=[\frac{1}{3}x^3-3x^2+8x]_{2}^{4}\\=\frac{64}{3}-48+32]-[\frac{8}{3}-12 +16 ]=-\frac{4}{3}$

Da nun eine Fläche keine negative Größe haben kann:

$A=|-\frac{4}{3}|=\frac{4}{3}$FE

Question 23

Teste Dich selbst:

f(x) = 2x ; g(x) = 3 - x²

Berechne die Fläche, die von den beiden Graphen und der Parallelen zur y-Achse bei x = 2 eingeschlossen wird.

Question 24

@ Moliets: Ja, das meinte ich.

Question 25

Es sind 2 Flächen $A_1$ und $A_2$ zu berechnen

1.) Für $A_1$

$d(x)=2x-(3-x^2)=x^2+2x-3 $

$x^2+2x-3=0 $ → $x^2+2x+1=3+1=4 $ →

$ (x+1)^2=4 $ → $x_1=1 $ und $x_2=-3 $

$ \int\limits_{1}^{2}(x^2+2x-3)dx=[ \frac{1}{3}x^3+x^2-3x] _{1}^{2}=[ \frac{8}{3}+4-6]-[ \frac{1}{3}+1-3]=\frac{7}{3}$

Wert des Integrals ist $ \frac{7}{3}$

$A_1= \frac{7}{3}$FE

2.) Für $A_2$

$d(x)=3-x^2-2x=-x^2-2x+3 $ → $-x^2-2x+3=0 $

$x_1=1 $ und $x_2=-3 $

$ \int\limits_{-3}^{1} (-x^2-2x+3)dx=[- \frac{1}{3}x^3-x^2+3x]_{-3}^{1}\\=[ -\frac{1}{3}-1+3 ] - [9 -9-9 ] \\=[ -\frac{1}{3}+2] - [-9 ] =11-\frac{1}{3}=\frac{32}{3}$

Wert des Integrals ist $ \frac{32}{3}$

$A_2= \frac{32}{3}$FE

$A=13$FE

Question 26

Gut.

Kannst Du denn auch eine Formel zur Berechnung der Gesamtfläche mittels EINES EINZIGEN Integrals aufschreiben? (Ohne weitere Rechnung)

Question 27

Kannst Du denn auch eine Formel zur Berechnung der Gesamtfläche mittels EINES EINZIGEN Integrals aufschreiben?

Nein, das ist in meinen Augen nicht möglich, weil das Integral ja in den Begrenzungen $x=-3$ bis $x=2$aufgestellt werden müsste.

Question 28

Doch, es geht (sonst hätte ich nicht gefragt). Denk an die Betragsfunktion. (Die Symbole f(x) und g(x) reichen, keine Notwendigkeit, die konkreten Funktionen hinzuschreiben. Dadurch wird auch die Formel klarer).

Question 29

Notiere mir das mal bitte. Meiner Ansicht nach ist das schon ein universitäres Problem und im Schulunterricht noch nicht möglich.

Question 30

Vielleicht so:

$$A = \int \limits_{-3}^{2} |f(x) - g(x)| ~dx = 13$$

Question 31

$$A = \int \limits_{-3}^{2}|f(x)-g(x)|dx \\ \text{ aber nicht, auch wenn es sehr ähnlich aussieht: } \\ |\int \limits_{-3}^{2}(f(x)-g(x))dx|$$

Den Betrag hast Du doch oben selber genutzt…

Question 32

Meiner Ansicht nach ist das schon ein universitäres Problem und im Schulunterricht noch nicht möglich.

Heutzutage Bestandteil des Abiturs (auch wenn das viele Lehrer kaum vermitteln). Wie es damals war, keine Ahnung. Kann mir aber nicht vorstellen, dass es damals nicht gab. Die Berechnung erfolgt dann tatsächlich durch Aufteilung des Integrals durch Fallunterscheidung oder eben mit dem GTR/CAS.

Question 33

Also zu meiner Abizeit 1967 gab es nicht mal Betragsgleichungen bzw Betragsungleichungen und Integration von Beträgen schon gar nicht und Taschenrechner nix.

Da ist doch das herkömmliche Verfahren wesentlich einfacher.

Question 34

Betragsgleichungen bzw Betragsungleichungen und Integration von Beträgen

All das tritt in dieser Aufgabe gar nicht auf.

Question 35

Das habe ich alles aufgeführt, weil die Integration von Beträgen angesprochen waren.

Berechnen Sie die Fläche A, welche von f_1 und f_2 eingeschlossen wird.

2 Antworten

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