Zwei Flugzeuge F_1 und F_2 fliegen auf Flugrouten, die durch die Vektorgleichungen...

Question

Aufgabe:

Hessisches Kultusministerium$$ $$Mathematik Leistungskurs (TR)$$ $$Landesabitur 2011 (Nachtermin)$$ $$Thema und Aufgabenstellung Vorschlag B2$$ $$Lineare Algebra / Analytische Geometrie$$ $$Aufgaben$$ \\\\ $$Zwei Flugzeuge $$F_1$$ und $$F_2$$ fliegen auf Flugrouten, die durch die Vektorgleichungen $$ \vec{f}_{1}(t) = \begin{pmatrix} 1,0 + 0,2t \\ 2,7 + 0,1t \\ 2,2 + 0,03t \end{pmatrix} $$ und $$ \vec{f}_{2}(t) = \begin{pmatrix} -0,8 + 0,12t \\ 1,8 + 0,2t \\ 1,7 + 0,04t \end{pmatrix} $$ beschrieben werden können. Dazu stellt man sich die Flugzeuge als punktförmige Objekte vor, wobei $$\vec{f}_{1}(t)$$ und $$\vec{f}_{2}(t)$$ die Ortsvektoren der Aufenthaltspunkte zum Zeitpunkt t in einem festgelegten Koordinatensystem angeben. Die Längeneinheiten im Koordinatensystem sind in km und die Zeiteinheiten in Sekunden vorgegeben. Die $$x_1-x_2-Ebene$$ sei die Oberfläche der Erde. $$1.1$$ Begründen Sie, dass sich die Flugzeuge auf geradlinigen Bahnen bewegen. Erläutern Sie hierbei die Bedeutung des Aufpunktvektors (Stützvektors) sowie des Richtungsvektors und dessen Betrags im Sachzusammenhang. $$1.2$$ Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte, in welchen sich die Flugzeuge zum Zeitpunkt t = 0 befinden sowie deren Höhe über dem Boden $$(x_1-x_2-Ebene)$$ und deren Abstand voneinander.$$ $$1.3$$ $$Untersuchen Sie, ob die Flugbahnen einen Schnittpunkt haben. Begründen Sie, dass ein gemeinsamer Schnittpunkt der beiden Flugrouten nicht unbedingt zur Kollision führen muss.$$ $$1.4$$ $$Zum Zeitpunkt t lässt sich die Entfernung der beiden Flugzeuge zueinander näherungsweise durch die Funktionsgleichung A mit $$A(t) = 0,1285-\sqrt{t^2 + 5,9394 t + 260,6061}$$ beschreiben. Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt diese Entfernung minimal ist und geben Sie den Betrag an.$$ $$1.5$$ $$Beschreiben Sie, wie die Funktionsgleichung A(t) entstanden ist.$$ \\ $$(20 BE)$$ $$2.$$ $$Flugzeug $$F_2$$ nimmt zum Zeitpunkt t = 100 eine Kurskorrektur vor und bewegt sich dann weiter zum Landepunkt L mit dem Ortsvektor $$\vec{l} = \begin{pmatrix} 73,9 \\ 50,3 \\ 0 \end{pmatrix}.$$ $$2.1$$ Zeigen Sie, dass $$\begin{pmatrix} 0,11 \\ 0,05 \\ -0,01 \end{pmatrix}$$ ein neuer Richtungsvektor für den Landeanflug ist und berechnen Sie den Winkel, um den sich der Kurs geändert hat. $$2.2$$ Unter der „Geschwindigkeit über Grund" kann man vereinfacht die Länge der Projektion des Richtungsvektors entlang der $$x_3-Achse$$ auf die $$x_1-x_2-Ebene$$ verstehen. Begründen Sie anhand einer geeigneten Skizze, warum die „Geschwindigkeit über Grund" des Flugzeuges $$F_2$$ während des Landeanflugs geringer als die Fluggeschwindigkeit ist, und geben Sie die Projektionsmatrix an.$$ $$(10 BE)$$ $$

Comments

Meine Lösungen:

1.1

Die Flugzeuge bewegen sich auf geraden Bahnen, da ihre Bewegung durch Vektorgleichungen beschrieben wird. Die Vektorgleichungen haben die Form $$\vec{r}(t) = \vec{a} + t\vec{v}$$, wobei $$\vec{a}$$ der Aufpunktvektor (Stützvektor) ist und $$\vec{v}$$ der Richtungsvektor. Der Aufpunktvektor gibt den Ausgangspunkt der Bewegung an, während der Richtungsvektor die Richtung und den Betrag der Geschwindigkeit angibt.

1.2

A = $$\begin{pmatrix} 1 \\ 2,7 \\ 2,2 \end{pmatrix}$$, B = $$\begin{pmatrix} -0,8 \\ 1,8 \\ 1,7 \end{pmatrix}$$

$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} -0,8-1 \\ 1,8-2,7 \\ 1,7-2,2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1,8 \\ -0,9 \\ -0,5 \end{pmatrix}$$

$$\mid AB \mid$$ = $$\sqrt{(-1,8)^2+(-0,9)^2+(-0,5)^2}$$ = $$\frac{\sqrt{430}}{10}$$ $$\approx 2,074$$

1.3

$$\vec{f_1} = \begin{pmatrix} 1,0+0,2t \\ 2,7+0,1t \\ 2,2+0,03t \end{pmatrix}$$

$$\vec{f_2} = \begin{pmatrix} -0,8+0,12t \\ 1,8+0,2t \\ 1,7+0,04t \end{pmatrix}$$

LGS:

I 1,8 = 0,12s+0,2t

II 4,5 = 0,2s+0,1t

III 3,9 = 0,04s+0,03t

kein Schnittpunkt, also keine Kollision

1.4

    A(t) = 0,1285 $$\cdot \sqrt{t^2+5,9394t+260,6061}$$

           = $$\frac{257 \sqrt{t^2+\frac{29697}{5000}t+\frac{2606061}{10000}}}{2000}$$

           = $$\frac{257 \sqrt{10000t^2+59394t+2606061}}{200000}$$

   A'(t) = $$\frac{257(20000t+59394)}{400000 \sqrt{10000t^2+59394t+2606061}}$$

           = $$\frac{2570000t+7632129}{200000 \sqrt{10000t^2+59394t+2606061}}$$

   A'(t) = $$\frac{2570000t+7632129}{200000 \sqrt{10000t^2+59394t+2606061}} = 0$$

              $$2570000t+7632129 = 0  \mid -7632129$$

              $$2570000t = -7632129  \mid :2570000$$

              $$t = -\frac{7632129}{2570000} = -\frac{29697}{10000} \approx -2,97$$

              $$\mid t \mid \approx \mid -2,97 \mid \approx 2,97 minimaler Abstand$$

   A(t) = 0,1285 $$\cdot \sqrt{t^2+5,9394t+260,6061}$$

   $$A(\frac{29697}{10000}) = 0,1285 \cdot \sqrt{\frac{29697}{10000}^2+5,9394 \cdot \frac{29697}{10000}+260,6061} = 0,1285 \sqrt{\frac{29697^2}{10000^2}+\frac{13912216809}{50000000}} \approx 2,18 Zeitpunkt$$

1.5

Die Funktionsgleichung A(t) entstand durch die Bestimmung des Abstandsvektors zwischen den beiden Flugzeugen und die Berechnung der Entfernung zwischen ihnen.

2.

2.1

$$\begin{pmatrix} 73,9 \\ 50,3 \\ 0 \end{pmatrix}+t_2 \begin{pmatrix} 0,11 \\ 0,05 \\ -0,01 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 73,9 \\ 50,3 \\ 0 \end{pmatrix}+100 \begin{pmatrix} 0,11 \\ 0,05 \\ -0,01 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 84,9 \\ 55,3 \\ -1 \end{pmatrix}$$

$$tan(\alpha) = 100  \mid tan^-1$$

     $$\alpha = tan(100)$$

     $$\alpha \approx -0,587°$$

     $$\alpha \approx 180°-\mid -0,587° \mid$$

     $$\alpha \approx 179,413°$$

2.2

Ich weiß nicht.

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Sind meine Lösungen so richtig? Hat jmd. die 2.2?

Answer 1

1.1 Ist in Ordnung.

1.2 Hier fehlt die Einheit sowie die Höhe über dem Boden.

1.3 Das LGS ist falsch (schau da nochmal genau hin) und die Begründung, warum ein Schnittpunkt nicht gleich Kollision bedeutet, fehlt ebenso.

1.4 Was soll die unnötige Umformung am Anfang? Bleib doch bei den kleinen Zahlen. Habe jetzt die genaue Rechnung nicht geprüft, aber da sind sicherlich Fehler drin. Tipp: Der Wurzelterm wird minimal, wenn der Radikand minimal wird (die Wurzel ist streng monoton wachsend für positive Werte). Interpretation von \(t\) und \(A(t)\) vertauscht und Einheiten fehlen.

1.5 Ist in Ordnung. Wichtig: zum selben Zeitpunkt \(t\)!

2.1 Ist falsch. Berechne den Punkt, an dem das Flugzeug nach 100 Sekunden ist und prüfe dann, dass das Flugzeug mit dem angegebenen Richtungsvektor den Landepunkt erreicht. Du berechnest hier einen völlig falschen Winkel und setzt anscheinend willkürlich 100 ein. Es geht um dem RICHTUNGswechsel. Es ist also der Winkel zwischen den RICHTUNGsvektoren gesucht.