Wie lange nach Beobachtungsbeginn befinden sich die Flugzeuge jeweils an diesem Punkt?

Question

Aufgabe:

Bezogen auf ein geeignetes Koordinatensystem mit der Einheit 1 km befindet sich ein erstes Flugzeug zu Beobachtungsbeginn im Koordinatenursprung und bewegt sich geradlinig mit einer Geschwindigkeit von 300 km/h in Richtung des Vektors (1 2 1).

Ein zweites Flugzeug befindet
sich zu Beobachtungsbeginn im Punkt (20|34,2|15,3) und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 400 km/h in Richtung des Vektors (-2 2 3) 

a) Untersuchen Sie, in welchen Punkten sich ihre Flugbahnen am nächsten kommen, und berechnen Sie den Abstand der beiden Punkte. Wie lange nach Beobachtungsbeginn befinden sich die Flugzeuge jeweils an diesem Punkt?

Problem/Ansatz:

Zu a)

Ich habe einen normalen Vektor bestimmt mit

n=(4 -5 6). Dann habe ich eine Ebene bestimmt mit E = (20 34,2 15,3) +r*(-2 2 3) + s*(4 -5 6)

Dann habe ich die Ebene mit der gerade gleichgesetzt und kam auf ein Gleichungssystem von

20 - 2r + 4s = t

34,2 +2r-5s =2t

15,3 +3r +6s = t

Lösung: r = 0,944

s = -0,01

t = 18,1

d=0,01*| n |= 0,088 km

Somit beträgt der geringste Abstand der Flugbahn 88 m. Das erste Flugzeug ist 56 Sekunden unterwegs wären das zweite Flugzeuge seit 18 Minuten fliegt.

Stimmt das?

Ich weiß, aber ich kann den Lösungsweg nicht nachvollziehen.

Answer 1

Normalenvektor

[1, 2, 1] ⨯ [-2, 2, 3] = [4, -5, 6]

Gleichungssysstem

[0, 0, 0] + r·[1, 2, 1] + s·[4, -5, 6] = [20, 34.2, 15.3] + t·[-2, 2, 3] → r = 6957/385 ∧ s = 4/385 ∧ t = 727/770

Damit komme ich also auf ähnliche Werte wie du: r = 18.07012987 ∧ s = 0.01038961038 ∧ t = 0.9441558441

Du solltest allerdings möglichst nicht runden, wenn du mit den Werten noch weiterrechnen möchtest.

Lotfußpunkte

F1 = [0, 0, 0] + 6957/385·[1, 2, 1] = [18.07, 36.14, 18.07]
F2 = [20, 34.2, 15.3] + 727/770·[-2, 2, 3] = [18.11, 36.09, 18.13]

Abstand

d = 4/385·|[4, -5, 6]| = 0.09117 km = 91.17 m

Flugzeiten

t1 = 6957/385·|[1, 2, 1]| / 300 = 0.1475 h = 8.853 min = 8:51 min
t2 = 727/770·|[-2, 2, 3]| / 400 = 0.009732 h = 0.5839 min = 35.04 s

Comments

Vielen Dank, jedoch habe ich noch eine Frage:

Warum hast du durch die Geschwindigkeiten geteilt um die Flugzeiten zu bestimmen?

Könnte man die Richtungsvektoren auch normieren und dann mit der Geschwindigkeit multiplizieren?

Vielen Dank!

---

Es gilt s = v * t bzw. t = s / v

Man teilt also die zurückgelegte Strecke durch die Geschwindigkeit.

Wenn du den Richtungsvektor normierst, würde sich doch auch der Parameter ändern, den du als Faktor vor dem Vektor herausbekommst.

Du könntest dann natürlich den Parameter mal die Vektorlänge nehmen. Teilen musst du aber in jedem Fall durch die Geschwindigkeit.

Beachte die Einheiten bei der Rechnung.

km * km/h = km²/h

km / (km/h) = km * h/km = h

Nur das zweite macht doch wirklich Sinn oder?

---

Das stimmt, danke für die gute Erklärung!

Im 2. Aufgabenteil ist die Frage Wann der Abstand der beiden Flugzeuge am geringsten ist. Stimmt meine Lösung hier?

Zuerst habe ich die Richtungsvektoren der Geraden normiert:

Dann ist g:x=r* (1/Wurzel 6, 2/Wurzel 6, 1/Wurzel 6)

h:x=(20 34,2 15,3)+r*(-2/Wurzel 17, 2/Wurzel 17, 3/Wurzel 17)

Aus dem Verbindungsvektor habe ich mir die Funktion gebastelt:

f(r)=Wurzel aus[(20-0,89332r)^2+(34,2-0,3314r)^2+(15,3+0,319359r)^2]

Der Tiefpunkt ist TP(24,1|34,9)

Somit lässt sich sagen dass nach 24 Minuten und 6 Sekunden der Abstand 34,9km beträgt und am geringsten ist.

Ist das so richtig?

---

Du müsstest die Richtungsvektoren auf die Geschwindigkeit normieren.

Dann ist der Abstand in Abhängigkeit von t

d^2(t) = ([20, 34.2, 15.3] + t·400/ABS([-2, 2, 3])·[-2, 2, 3] - ([0, 0, 0] + t·300/ABS([1, 2, 1])·[1, 2, 1]))^2 = 131182.2948·t^2 - 10984.89108·t + 1803.73

d^2'(t) = 262364.5896·t - 10984.89108 = 0 --> t = 0.04186880209 h = 2 min 31 s

d(0.04186880209) = 39.67 km

Damit wäre der kleinste Abstand nach etwa 2. 5 minuten mit ca. 40 km erreicht.

---

Danke, aber wieso auf die Geschwindigkeit normieren? Es ist doch in Ordnung wenn die Flugzeuge unterschiedlich schnell fliegen oder nicht?

---

Wenn sie unterschiedlich schnell sind, dann musst du das natürlich mit einberechnen. Bei dir haben beide dieselbe Geschwindigkeit.

Stell dir vor zwei Autos fahren beide mit konstanter Geschwindigkeit auf zwei sich kreuzenden Straßen und stoßen zusammen. Würde man das eine Auto schneller machen, dann würden die beiden z.B. nicht mehr zusammenstoßen, weil das schnellere Auto denn die Kreuzung schon passiert hätte. Der kleinste Abstand der Autos ändert sich also, wenn wir die Geschwindigkeit nur eines Autos verändern.

---

Danke für die Erklärung, aber das erste Flugzeug fliegt mit 300Km/h undas zweite mit 400 km/h dann habe ich die Geschwindigkeit schon mit in meiner Rechnung oder nicht?

---

In dem Ausdruck

g:x=r* (1/Wurzel 6, 2/Wurzel 6, 1/Wurzel 6)

sehe ich nichts, was auf eine Geschwindigkeit hindeutet. Du hast den Richtungsvektor auf die Länge 1 normiert.

Bei mir siehst du es

[0, 0, 0] + t·300/ABS([1, 2, 1])·[1, 2, 1]) = t·[50·√6, 100·√6, 50·√6]

---

Ok, danke! Ich habe es verstanden! Laut meiner Geraden, wo ich nur die Richtungsvektoren normiert habe hätte das Flugzeug in einer Stunde auch nur einen Kilometer zurückgelegt oder?

---

Aber wie kommst du auf diese Funktion?

Meine Funktion wäre:

f(r)=Wurzel[(-296,503r)^2+(473,177r)^2+(183,868r)^2]

Und der Tiefpunkt ist laut Taschenrechner 0|0

Meine Geraden sind:

g:x=300r*(1/Wurzel6, 2/Wurzel6,1/Wurzel 6)

h:x=(20 34,2 15,3)+400t*(-2/Wurzel 17, 2/Wurzel 17, 3/Wurzel 17)