Berechnen Sie nun approximativ (mithilfe des Zentralen Grenzwertsatzes) die Wahrscheinlichkeit, dass Sie in den …

Question

Aufgabe:

Sie sollen für Ihr Unternehmen den Finanzplan für die kommenden drei Monate erstellen. Dazu fehlt Ihnen noch eine Einschätzung der Kosten für die Service-Hotline. Um eine grobe Prognose abgeben zu können, betrachten Sie die poissonverteilte Zufallsvariable “Anzahl der eingegangenen Anrufe” der letzten Tage, die in folgender Tabelle ersichtlich sind:

Tag 1 2 3 4 5 6

Kundenanrufe 75 80 73 73 80 65

Jeder Anruf kostet Sie 0.51 Euro. Berechnen Sie nun approximativ (mithilfe des Zentralen Grenzwertsatzes) die Wahrscheinlichkeit, dass Sie in den kommenden 90 Tagen mehr als 3385 Euro für Ihre Service-Hotline ausgeben müssen, wenn die Anzahl der Anrufe pro Tag als voneinander unabhängige Zufallsvariablen angenommen werden können. (Geben Sie das Ergebnis bitte in Prozent an!)

Problem/Ansatz:

Guten Abend. Ich habe hier folgendermaßen gerechnet: (75+80+73+73+80+65)/6 =74.33 danach dieses Ergebnis mit den 90 tagen multipliziert und mu erhalten. Dann habe ich sigma berechnet (Wurzel aus mu) und anschließend den Betrag an Euro mit den Anrufkosten dividiert, mu subtrahiert und durch sigma geteilt. Ich komme jedoch immer auf das falsche Ergebnis. Vielen Dank.

Answer 1

Aloha :)

1) Die Poissonverteilungen addieren sich wieder zu Poissonverteilungen:$$\lambda_6=446\implies\lambda_{90}=15\cdot\lambda_6=6690$$

2) Die Varianz der Poisson-Verteilung ist gleich ihrem Erwartungswert:$$\sigma^2=\lambda_{90}=6690\implies\sigma=\sqrt{6690}\approx81,792420$$

3) Kosten in Anrufe umrechnen:$$\frac{3385\,€}{0,51\,€}\approx6637,2549$$Wir brauchen mehr also diese Anzahl Anrufe. Da die Normalverteilung kontinuierlich ist, wählen wir \(6637,5\) Anrufe, weil ab da auf \(6638\) aufgerundet wird.

4) Normalisieren und in die Standard-Normalverteilung einsetzen:$$\Phi\left(\frac{6637,5-6690}{\sqrt{6690}}\right)=\Phi(-0,641869)=0,2605$$

5) Wahrscheinlichkeit bestimmen:$$P(X>6637,5)=1-P(X<6637,5)=1-\Phi\left(\frac{6637,5-6690}{\sqrt{6690}}\right)$$$$\phantom{P(X>6637,2549)}=1-0,2605=0,7395\approx73,95\%$$

Falls du das Ergebnis auf eine Kommatstelle runden sollst, würde ich \(73,9\%\) oder \(74,0\%\) probieren. Durch die "krumme" Zahl bei den Anrufen, ist nicht klar, wie der Aufgabensteller gerundet hat.

Comments

Wie kommt man auf die 15 am Anfang?

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Ja, wie kommt man auf die 15?

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In 6 Tagen werden 446 Anrufe erwartet.

Also werden in 90=15*6 Tagen 15*446 Anrufe erwarten.

Answer 2

\( λ =  \frac{75+80+73+73+80+65}{6} * 0.51 *90 = 3411.9 \)

Für größeres λ ähnelt die Poissonverteilung der Normalverteilung mit μ = λ und σ = \( \sqrt{λ} \) = 58.4115...

Normierung: z = \(  \frac{3385-µ}{σ} \) = -0.4605

P(X > 3385) = 0.6774 ~ 67.8 %

Comments

Dankeschön, dieses Ergebnis wird aber leider nicht als richtig anerkannt.

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Wie lautet das richtige Ergebnis?

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Vermutlich musst Du die Normierung so ändern

$$ z = \frac{ 3'385 - \mu \cdot 0.51 \cdot 90 }{ 0.51 \cdot 90 \cdot \sigma } $$

Answer 3

Man hat \( \lambda = 74.33 \) und \( \sigma = \sqrt{\lambda} = 8.622 \)

Um mehr als \( 3'385€ \) Gewinn zu erzielen in 90 Tagen, müssen mehr als \( \frac{3'385}{0.51 \cdot 90} = 73.747 \) Anrufe pro Tag eingehen.

Wir müssen also die Wahrscheinlichkeit \( \mathbb{P_\lambda} ( k > 73.47 \) ) ausrechnen, unter der Annahme, das eine Poissonverteilung vorliegt.

Das ergibt bei mir eine Wahrscheinlichkeit von \( 0.530863 \)

Nimmt man die Normalverteilung, muss man \( \frac{73.747 - \lambda}{\sigma} =  - 0.068 \) betrachten und

$$ 1 - \Phi \left( \frac{73.747 - \lambda}{\sigma} \right) $$ ausrechnen.

Das ergibt bei mir \( 0.527097 \)