Bestimmen Sie den Winkel, den zwei Diagonalen von W.

Question

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3. Aufgabe Sei \( W \subset \mathbb{R}^{4} \),der 4-dimensionale Würfel"
\( W=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} \mid-1 \leq x_{i} \leq 1, i=1, \ldots, 4\right\} \)
Die 16 Ecken dieses Würfels haben die Koordinaten \( (\pm 1, \pm 1, \pm 1, \pm 1) \) (alle Möglichkeiten). Bestimmen Sie den Winkel, den zwei Diagonalen von \( W \) einschließen. Hängt dieser Winkel von der Wahl der Diagonalen ab?

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz: hey könnte mir da jemand behilflich sein? Wäre sehr nett danke

Answer 1

Diagonalen sind dann ja wohl Verbindungstrecken zweier Ecken,

bei denen sich die Koordinaten der Endpunkte an zwei Stellen unterscheiden.

Also etwa (1,1,1,1) und (-1;-1;1;1) .

Der Verbindungsvektor wäre dann \(  \vec{u}=\begin{pmatrix} 2\\2\\0\\0 \end{pmatrix} \).

Entsprechend vielleicht auch (1,1,1,1) und (1;1;-1;-1)

und \(  \vec{v}=\begin{pmatrix} 0\\0\\2\\2 \end{pmatrix} \).

Da wäre dann das Skalarprodukt der Verbindungsvektoren gleich 0,

also Die Diagonalen senkrecht.

Wählt man andere Fälle, etwa (1,1,1,1) und (-1;-1;1;1)

mit  \(  \vec{u}=\begin{pmatrix} 2\\2\\0\\0 \end{pmatrix} \)

und Wählt man andere Fälle, etwa (1,1,1,1) und (1;-1;-1;1)

mit \(  \vec{v}=\begin{pmatrix} 0\\2\\2\\0 \end{pmatrix} \)

Dann ist ja der Cos des Winkels gleich

\( \frac{\vec{u}*\vec{v}}{||\vec{u}||*||\vec{v}||} =\frac{4}{\sqrt{8}*\sqrt{8}}=0,5\)

Also ein Winkel von 60°.