Wie ermittelt man eine Termdarstellung der Funktion f?

Question

Aufgabe:

Wie ermittelt man eine Termdarstellung der Funktion f?

Problem/Ansatz:

Der Graph einer Polynomfunktion f von Grad 3 berührt die 1. Achse bei x = 1 und besitzt den Wendepunkt W = ( 3 | -4)

Answer 1

Der Graph einer Polynomfunktion f von Grad 3 berührt die 1. Achse bei x = 1 und besitzt den Wendepunkt W = ( 3 | -4)

Ansatz f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d

berührt die 1. Achse bei x = 1 ==>  f(1)=0  wegen x-Achse

                                            und f'(1)=0 wegen "berührt"

Wendepunkt W = ( 3 | -4)  ==>  f(3) = -4 wegen Punkt ( 3 | -4)

                                            f ' ' (3) = 0   wegen "Wende"

Gibt das Gleichungssystem

a+b+c+d=0
3a+2b+c=0
27a+9b+3c+d=-4 
10a+2b=0

mit a)1/4 und b=-9/4 und c=15/4 und d=-7/4

sieht so aus ~plot~ 1/4*x^3-9/4*x^2+15/4*x-7/4 ~plot~

Answer 2

f(x) = ax^3+bx^2+cx+d

f(1) = 0

f '(1) = 0

f(3) = -4

f ''(3) =0

Stelle das Gleichungssystem auf und bestimme a, b, c, d!

berühren = dieselbe Steigung haben wie die x-Achse.Diese hat die Steigung m =0, da waagrecht.

Answer 3

"Der Graph einer Polynomfunktion f von Grad 3 berührt die 1. Achse bei x = 1 und besitzt den Wendepunkt W = ( 3 | -4)"

berührt die 1. Achse bei x = 1→ doppelte Nullstelle:

\(f(x)=a*(x-1)^2*(x-N)\)

W = ( 3 | -4):

\(f(3)=a*(3-1)^2*(3-N)=4a*(3-N)→4a*(3-N)=-4→ a=\frac{1}{N-3}   \)

Wendepunkt:\(f´´(x)=0\)

\(f(x)=\frac{1}{N-3} *[(x-1)^2*(x-N)]\)

\(f´(x)=\frac{1}{N-3} *[(2*x-2)*(x-N)+(x-1)^2*1]\)

\(f´´(x)=\frac{1}{N-3} *[(2*(x-N)+(2*x-2)*1+2*(x-1)*1]\)

\(f´´(3)=\frac{1}{N-3} *[(2*(3-N)+(2*3-2)+2*(3-1)]\)

 \(\frac{1}{N-3} *[(2*(3-N)+(2*3-2)+2*(3-1)]=0→N=7→a=\frac{1}{4}  \)

\(f(x)=\frac{1}{4}*(x-1)^2*(x-7)\)