Bestimme a so, dass f(x) für alle R stetig ist.

Question

Aufgabe:

Bestimme a so, dass f(x) für alle R stetig ist.

f(x) = {

(ax) / (1+x²) falls x <= 1

(x³-1) / 6*(1-x) falls x > 1  }

Problem/Ansatz:

Der Ansatz wäre zu zeigen, dass die gegebenen Funktionen erstmal stetig sind (sind sie ja, sichtlich durch Vererbungsregeln für Funktionen).

Dann zeigt man, dass die Funktionen sich an der "kritischen Stelle" (hier: 1) berühren (können), bzw man definiert a so dass sie sie sich eben bei 1 berühren.
Problem ist aber, dass die untere Funktion an der "kritischen Stelle" nicht definiert ist, weil 6*(1-1) = 0 und dies im Nenner nicht möglich ist.

Da nun aber die Funktion nur für x > 1 definiert ist müsste es ja irgendwie trotzdem gehen, oder? Weil für Werte >1 wird der Nenner nicht 0, lediglich für =1.

Danke im Voraus für die Hilfe! :)

Answer 1

Für den Grenzfall x=1 müssten die Grenzwerte gleich sein.

a·x/(1 + x^2) = (x^3 - 1)/(6·(1 - x)) = - (x^2 + x + 1)/6

a·1/(1 + 1^2) = - (1^2 + 1 + 1)/6 --> a = -1

Comments

Also hast du die beiden Funktionen gleichgesetzt, aber was würde dann auf der linken Seite von - (x2 + x + 1)/6 stehen bleiben?

Ich verstehe nicht genau warum du dann die erste Funktion mit der "neuen" Funktion die du durch das Gleichsetzen erhalten hast wieder gleichsetzen darfst .

Wäre mega wenn du mir das vielleicht kurz erklären könntest :)

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Oh, hat sich erledigt, der Kommentar von Gast2016 war der springende Punkt den ich nicht verstanden habe!

Vielen Dank euch beiden!

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(x^3 - 1)/(6·(1 - x))

Wir können x^3 - 1 faktorisieren z.B. Polynomdivision oder Horner Schema.

x^3 - 1 = (x - 1)·(x^2 + x + 1)

Also erhalten wir

(x - 1)·(x^2 + x + 1) / (6·(1 - x))

Aus der ersten klammer ziehen wir das - heraus

- (1 - x)·(x^2 + x + 1) / (6·(1 - x))

Nun kann man 1 - x kürzen

- (x^2 + x + 1) / 6

Ist das so verständlich?

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Ja, so verstehe ich es, die Faktorisierung war nur wieder ein ganzes Semester her :D

Vielen lieben Dank!

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Gast2016 hatte auch hingeschrieben, dass Faktorisieren zum Ziel führt. Hattest du das gesehen?

Answer 2

Faktorisiere x^3-1 und kürze x-1 weg, setze dann x= 1 ein!

Verwende:

1-x = -(x-1)

https://www.wolframalpha.com/input?i=factorise+x%5E3-1+