Aloha :)$$S=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n(\sqrt{n+1}-\sqrt n)=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(\overbrace{\sqrt{n+1}}^{=a}-\overbrace{\sqrt n}^{=b})(\overbrace{\sqrt{n+1}}^{=a}+\overbrace{\sqrt n}^{=b})}{(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}$$$$\phantom{S}=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{\overbrace{(n+1)}^{=a^2}-\overbrace{n}^{=b^2}}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\,\underbrace{\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}}_{\eqqcolon a_n}$$Jetzt erkennst du, dass die Folge \((a_n)\) gegen \(0\) konvergiert und streng monoton fällt (da der Nenner mit \(n\) wächst). Gemäß des Leibnitz-Kriteriums konvergiert daher die Reihe.
Eine Reihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\) ist genau dann absolut konvergent, wenn \(\sum\limits_{n=0}^\infty |a_n|\) konvergiert.
Wir lassen daher \((-1)^n\) als Faktor weg und prüfen die Konvergenz der Absolutwerte. Dazu wählen wir als Obergrenze der Summe zunächst nicht \(\infty\), sondern \(N\) und lassen dieses \(N\) am Ende gegen \(\infty\) gehen:$$S_N=\sum\limits_{n=0}^N(\sqrt{n+1}-\sqrt n)=\sum\limits_{n=0}^N\sqrt{n+1}-\sum\limits_{n=0}^N\sqrt n$$$$\phantom{S_N}=\left(\sqrt{N+1}+\sum\limits_{n=0}^{N-1}\sqrt{n+1}\right)-\left(\sqrt 0+\sum\limits_{n=1}^N\sqrt n\right)$$$$\phantom{S_N}=\sqrt{N+1}+\sum\limits_{n=1}^{N}\sqrt{n}-\sum\limits_{n=1}^N\sqrt n=\sqrt{N+1}\to\infty$$Die Summe der Absolutwerte konvergiert also nicht, daher ist die Folge nicht absolut konvergent.
