Bestimmen sie h und r, so dass V(Kegel groß) = 2 • V(Kegel klein) gilt.

Question

Aufgabe:

Vorgelegt sei ein Kegel mit Radius R und Höhe H. Diesem sei ein kleinerer Kegel mit Radius r und Höhe h wie in folgender Figur beschrieben. Grundflächen der Kegel sind parallel.

a) Bestimmen sie h und r, so dass V(Kegel groß) = 2 • V(Kegel klein) gilt.

b) Es seien R= 4cm und H= 15 cm. Wie groß muss h gewählt werden, damit das Volumen des kleinen Kegels 5cm³ beträgt?

Answer 1

1/3 * R^2 * pi * H = 2/3 * r^2 * pi * h

<=>  R^2 * H = 2* r^2  * h

Und wegen Strahlensatz H/R = h/r also H = R*h/r

==>  R^2 * R*h/r = 2 * r^2 * h

==>  R^3 * h / r = 2 * r^2 * h

==>  R^3 = 2 * r^3 

==>  R = \( \sqrt[3]{2} \) * r  ≈1,26*r

bzw. r= 0,794*R

Answer 2

a)

Volumen Kegel klein: Vk = 1/3 · π · r^2 · h

Volumen Kegel gross: Vg = 1/3 · π · R^2 · H

Soll:

(I): 2 * 1/3 · π · r^2 · h = 1/3 · π · R^2 · H

(I): 2 *  r^2 · h = R^2 · H

(I): 2 *  \( \frac{r^2}{R^2} \) · h = H

wegen \( \frac{r}{R} = \frac{h}{H} \)

(I): 2 *  \( \frac{h^2}{H^2} \) h = H

(I): \( h^3 = \frac{H^3}{2} \)

(I): \( h = H * \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \)

wegen \( \frac{r}{R} = \frac{h}{H} \) folgt

(II): \( r = \frac{h*R}{H} \)

(II): \( r = \frac{H * \sqrt[3]{\frac{1}{2}} *R}{H} =  \sqrt[3]{\frac{1}{2}} *R \)

b)

Mit dem Faktor \(  \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \) wurde das Volumen des grossen Kegels halbiert. Somit wird das gewünschte Volumen mit dem Faktor \( \sqrt[3]{\frac{5}{R^2*H*\pi/3}} = \sqrt[3]{\frac{Vk}{Vg}} \) erzielt.

\( h = \sqrt[3]{\frac{5}{R^2*H*\pi/3}} * 15 \)

\( r = \sqrt[3]{\frac{5}{R^2*H*\pi/3}} *4 \)

Answer 3

Volumen vom großen Kegel:    \(V= \frac{1}{3}*R^2*π*H\)

Volumen vom kleinen Kegel: \(V= \frac{1}{3}*r^2*π*h\)

Da nun der kleine Kegel halb so groß wie der große Kegel sein soll, gilt:

\( \frac{1}{2}*\frac{1}{3}*R^2*π*H=\frac{1}{3}*r^2*π*h\)