Berechne die Koordinaten von A und C.

Question

Aufgabe

Vom Quadrat ABCD kennt man die Ecken B(5/0/10) und D(2/21/10). Ferner weiss man, dass die Ecke A in der XY-Ebene liegt. Berechne die Koordinaten von A und C.

Problem/Ansatz:

Ich komme einfach nicht drauf, wie man A und C berechnet. Bitte um einen einfachen Lösungsweg.

Comments

Es tut mir Leid, mir ist ein Fehler unterlaufen, es sollte D(2/21/10) sein, nicht C(2/21/20.

Answer 1

Hallo,

B(5/0/10) und D(2/21/10)

M(3,5|10,5|10)

A(x|y|0)

|BM|²=1,5² +10,5² =112,5

|AM|²=(x-3,5)²+(y-10,5)²+10²=112,5   (*)

AM•BM=(3,5-x)•(-1,5)+(10,5-y)•10,5=0

x=7y-70   in (*) einsetzen:

(7y-73.5)²+(y-10.5)²=12.5

y=10 oder y=11

x=7•10-70=0 oder x=7•11-70=7

A(0|10|0) oder A(7|11|0)

Jetzt stimmt's!

C dürfte jetzt kein Problem sein.

:-)

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Danke vielmals. :D

Answer 2

Berechne den Mittelpunkt \(M\) der Diagonalen \(BD\).

Löse das Gleichungssystem

        \(\begin{aligned}\vec{AB}\cdot\vec{AD}&=0\\\vec{AM}\cdot\vec{MB}&=0\\\vec{OA}\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}&=0\end{aligned}\)

Idee hinter diesem Gleichungssystem ist

1. Die Seiten \(AB\) und \(AD\) sind senkrecht zueinander.
2. Die Diagonalen sind senkrecht zueinander.
3. Der Ortsvektor von \(A\) und die \(z\)-Achse sind senkrecht zueinander.
   

Comments

Verzeihung, ich habe mich vertippt. Es sollte D(2/21/10) sein, nicht C(2/21/20.

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Ich habe meine Antwort entsprechend angepasst.

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In der letzten Gleichung muss es rechts 10 heißen

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Ich wüsste nicht, warum da eine 10 hin soll.

Das Skalarprodukt ist 0 wenn Vektoren senkrecht zueinander sind, nicht 10.

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Vorher stand ja auch

\( \vec{OM}\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=0\)

da.

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Ja, das war falsch.

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A1(0/10/0), C1(7/11/20), A2(7/11/0), C2 (0/10/20)

Das sind laut meinen Unterlagen die Lösungen. Ich habe versucht, mit dem genannten Lösungsweg drauf zu kommen, aber ich kriege es einfach nicht hin. (Diesmal habe ich kontrolliert, ob ich die Angaben richtig getippt habe).

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Ich komme auf

\( \overrightarrow{A B}=\left(\begin{array}{l}5-x \\ 0-y \\ 10-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5-x \\ -y \\ 10\end{array}\right) \)

\( \overrightarrow{A D}=\left(\begin{array}{c}2-x \\ 21-y \\ 10-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2-x \\ 21-y \\ 10\end{array}\right) \)

\( \overrightarrow{A M}-\left(\begin{array}{c}3,5-x \\ 10,5-y \\ 10-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3,5-x \\ 10,5-y \\ 10\end{array}\right) \)

\( \overrightarrow{M B}=\left(\begin{array}{c}1,5 \\ -10,5 \\ 0\end{array}\right) \)

\(\overrightarrow{A B}\cdot \overrightarrow{A D}=0\)

\( (5-x)(2-x)-y(21-y)+10 \cdot10=0 \)
\( 10+5 x-2 x+x^{2}-21 y+y^{2}+100=0 \)
\( x^{2}+3 x+y^{2}-21 y+110=0 \)

\(\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{MB}=0\)

\( \begin{aligned}(3,5-x) \cdot 1,5+(10,5-y) \cdot(-10,5) &=0 \\ 5,25-1,5 x-110,25+10,5 y &=0 \\-1,5 x+10,5 y &=105 \end{aligned} \)

auflösen nach x ergibt

\( x=7 y-70 \)

In die 1. Gleichung einsetzen:

\( (7 y-70)^{2}+3(7 y-70)+y^{2}-21 y+110=0 \)
\( 49 y^{2}-980 y+4900+21 y-210+y^{2}-21 y+110=0 \)

\( 50 y^{2}-980 y+4800=0 \)

\( y^{2}-19,6 y+96=0 \)

\( y_{1 / 2}=9,8 \pm \sqrt{96,04-96} \)

\( y_{1 / 2}=9,8 \pm 0,2 \)

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\(10+5 x-2 x+x^{2}-21 y+y^{2}+100=0 \)

\(10 - 5x - 2x + x^2 - 21y + y^2 + 100 = 0\)

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Hallo Silvia,

\((7 y-70)^{2}-7(7 y-70)+y^{2}-21 y+110=0 \)

\(49 y^{2}-980 y+4900-49y+490+y^{2}-21 y+110=0 \)

\( 50 y^{2}-1050 y+5500=0 \)

\(y^2-21y+110=0\)

\(y=10\) oder \(y=11\)

:-)

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Manno, ich hatte schon zweimal gerechnet... ;-)

Answer 3

Ferner weiss man, dass die Ecke A in der XY-Ebene liegt.

A hat die Koordinaten

A = [x, y, 0]

Nun gilt

AB = [5, 0, 10] - [x, y, 0] = [5 - x, -y, 10]
BC = [2, 21, 10] - [5, 0, 10] = [-3, 21, 0]

AB * BC = [5 - x, -y, 10] * [-3, 21, 0] = 3·x - 21·y - 15 = 0

sowie

|AB|^2 = |BC|^2
x^2 - 10·x + y^2 + 125 = 450

Löse das Gleichungssystem. Ich erhalte

[x = 7·√7 + 5 ∧ y = √7
x = 5 - 7·√7 ∧ y = - √7]

Schau mal ob ich da irgendwo einen Fehler drin habe, weil die Koordinaten jetzt nicht ganz pflegeleicht sind. Versuche es auch evtl. zu skizzieren.

Comments

Oh je, ich habe bei meine Fragestellung gesehen, dass ich eine Koordinate falsch angegeben habe. Es sollte D(2/21/10) sein, nicht C(2/21/20.

A und C sind die Koordinaten, die ich herausfinden muss.

Es tut mir sehr Leid, Ihnen falsche Informationen gegeben zu haben.