Physik: Stimmt diese Ableitung dω^2/dt^2 = v^2?

Question

Stimmt es, dass die 2. partielle Ableitung von "(x-vt)^2" nach der Zeit

v^2 ergibt? Wenn ja, wieso?

Präzision gemäss Kommentar:

 dω²/dt² = v² 
Wobei ω=(x-vt) und das Symbol für partielle Ableitung habe ich kurzerhand durch "d" ersetzt, da ich es im moment nicht schreiben kann. x: weg, vt: geschwindigkeit mal zeit

Weitere Präzision aus Kommentar: Berechnet wird offenbar:

d² f(a(x,t)) / dt² + d² g(b(x,t))/dt²

Comments

Kannst du etwas genauer sagen, was was ist?
Ich kann hier nicht erraten, was du meinst.

Ist x der Weg?
Wenn ja ist dx/dt= v

und d/dt ( vt) = v + v ' *t           gemäss Produktregel.

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also tut mir leid für die ungenauen angaben dω^2/dt^2 = v^2 Wobei ω=(x-vt) und das Symbol für partielle Ableitung habe ich kurzerhand durch "d" ersetzt, da ich es im moment nicht schreiben kann. x: weg, vt: geschwindigkeit mal zeit

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 dω²/dt² = v²

heisst, dass du ω² ableitest. Also wegen ω=(x-vt)

ist (x-vt)^2 

abzuleiten

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1.Abl.: v(x-vt) und dann (vx-v^2 t) abgeleitet ergibt die 2. Ableitung.: -v^2 also v^2. Soweit so gut?

Answer 1

ist (x-vt)² abzuleiten

(x-vt)^2 = x^2 -2xvt + v^2 t^2

1. partielle Ableitung nach t gibt:  -2vx + 2v^2 t

Nochmals partiell nach t ableiten gibt 2v^2

1.Abl.: v(x-vt) und dann (vx-v² t) abgeleitet ergibt die 2. Ableitung.: -v² also v². Soweit so gut?

Hier fehlt bei der ersten Ableitung der Faktor -2, 2 vom Exponenten und - weil die innere Ableitung -v^2 ist.

Comments

also ich muss das ganze jetzt mal in den richtigen Kontext setzen, um doch noch zu einer befriedigenden Lösung zu kommen.

 

Die Gleichungen der ersten Ableitung sehen so aus:

α(x,t)=x-vt und β(x,t)=x+vt

Bis hierhin ist alles klar.

Dann kommt der Schritt zur zweiten partiellen Ableitung:

 

(In den Nennern der letzten Gleichung soll "t" durch "α" bzw. "β" ersetzt werden!...tut mir leid für den Fehler)

Wie kommen hier diese v^2 zustande? Die anderen Terme sind mir klar.

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Niemand, der mir helfen koennte?

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Ich verstehe leider schon nicht, woher die andern Terme kommen.

Soll das letzte Kästchen nun das Resultat der Berechnung von

d^2 f(a(x,t)) / dt^2 + d^2 g(b(x,t))/dt^2 sein?

Wenn ich einfach mal die Rechnung der ersten Ableitung auf das hier übertrage, bekomme ich

d² f(a(x,t)) / dt² + d² g(b(x,t))/dt²

= d/dt (df(a)/da (-v) + ....)            |durch 'da' und mal 'da'

= ( d^2 f(a)/da^2 * da/dt * (-v) + ....)

= (d^2 f(a) / da^2 * (-v)*(-v) + ....)

=(d^2 f(a) / da^2 * v^2 + ....)

(-v) wurde als konstanter Faktor einfach mitgenommen. 

Bei den Pünktchen analog durch 'db' und mal 'db' einfügen. 

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Das zweite Kästchen soll die 2. Ableitung sein. Das erste stellt die erste Ableitung dar.

 

Dein Kommentar leuchtet mir soweit ein. Kann es sein, dass Du bei der multiplikation mit d/dt den anschliessend entstehenden Exponenten 2 vergessen hast?

Also: d/dt (df(a)/da (-v) + ....) = ( d^2f(a)/da^2 * da/dt * (-v) + ....)

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Ja. Genau. Danke für die Korrektur. Ich habe das oben nun noch blau nachgeführt.

Answer 2

Nein, die zweite Ableitung von f ( t ) = ( x - v t ) ²  ist 2 v ².

Beweis:

Erste Ableitung mit Kettenregel:

f ' ( t ) = 2 * ( x - v t ) * ( - v ) 

= - 2 v ( x - v t )

Zweite Ableitung mit Produktregel:

f ' ' ( t ) = 0 * ( x - v t ) + ( - 2 v ) * ( - v )

= 2 v ²