Wochentage Hypothesentest berechnen

Question

Aufgabe:

Meist nimmt man an, dass alle Wochentage als Tage der Geburt die gleiche Chance
haben. Es gibt aber auch Argumente, dem Sonntag eine kleinere Wk p zuzuschreiben. Gegeben sei
deshalb die Hypothese H0: p = 1/7, die gegen H1: p <1/ 7 (einseitiger Test) getestet werden soll.
a) Entwerfen Sie für dieses Problem einen Signifikanztest (d. h. bestimmen Sie den
Verwerfungsbereich V) zum Signifikanzniveau α = 0,05 bei einem Stichprobenumfang von
n = 20, indem Sie die Binomial- durch die Normalverteilung approximieren (mit
Stetigkeitskorrektur!). Ist diese Approximation durch die Normalverteilung hier angebracht?
b) Berechnen Sie den Verwerfungsbereich V genau mit der Binomialverteilung!
Stimmt dieser mit a) überein?

Problem/Ansatz:,6

a) Ich würde auf den Verwerfungsbereich V={0,...,6} kommen, ist jedoch irrelevant, da man hier nicht approximieren darf.

Wie kann ich den Verwerfungsbereich mit der Binomialverteilung berechnen?

Answer 1

H0: µ = 20/7
H1  µ < 20/7

Linksseitiger Test mit alpha = 0.05, p = 1/7, σ = \( \sqrt{20*p*(1-p)}  ≈ 1.5649 \)

Gesucht k mit p(X <= k) <= 0.05

X normieren:

P(X <= k) = P (Z <= \( \frac{k - µ + 0.5}{σ}) \) = phi( \( \frac{k - µ + 0.5}{σ} \) ) = phi(z)

Finde zunächst ein phi(z) = 0.05 → z = -1.645, daraus folgt

\( \frac{k - µ + 0.5}{σ} = -1.645 \)

k = -1.645 * σ + µ - 0.5 ≈ -0.217

Daraus folgt, dass selbst bei 0 Treffern H1 nicht angenommen werden kann.

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Die Approximation ist nicht angebracht, da σ < 3 gilt.

Die Binomialverteilung bestätigt das Ergebnis nicht, denn

B(n=20,p=1/7,k=0) ≈ 0.0458

B(n=20,p=1/7,k=1) ≈ 0.1527

und daraus folgt p(X <= 0) <= 0.05.

Bei Verwendung der Binomialverteilung würde man bei 0 Treffern H1 annehmen bzw. H0 ablehnen.