v beschreibt das Wachstum der Pflanze, h die Höhe
c - Dauer der Wachstumsphase, hier sind die Nullstellen von v(t) zu berechnen.
\( -0,1 t^{3}+t^{2}=0 \)
\( t^{2}(-0,1 t+1)=0 \)
\( t_1=0 \vee\quad -0,1 t+1=0\Rightarrow -0,1 t=-1\Rightarrow t_2=10\)
d - maximale Höhe der Pflanze - Wie Georg schon schrieb, ist die maximale Höhe erreicht, sobald die Pflanze nicht mehr wächst. Dafür setzt du 10 in h(t) ein.
\( -\frac{1}{40} \cdot 10^{4}+\frac{1}{3} \cdot 10^{3}+5 \)
\( =-\frac{10000}{40}+\frac{1000}{3}+5 \)
\( =\frac{265}{3}=88 \frac{1}{3} \)
e - Höhe der Pflanze, wenn sie am schnellsten wächst, ist am Wendepunkt von h.
\( h^{\prime}=v(t) \)
\( h^{\prime \prime}=v^{\prime}(x)=-0,3 t^{2}+2 t \)
\( -0, 3 t^{2}+2 t=0 \)
\( =t\cdot (-0,3 t+2)=0 \)
\( t_{1}=0 \quad \vee \quad -0,3 t+2=0 \Rightarrow t_{2}=\frac{20}{3} \)
\( \begin{aligned} h\left(\frac{20}{3}\right) &=-\frac{1}{40} \cdot\left(\frac{20}{3}\right)^{4}+\frac{1}{3} \cdot\left(\frac{20}{3}\right)^{3}+5 \\\\ &=-\frac{1}{40} \cdot \frac{160000}{81}+\frac{1}{3} \cdot \frac{8000}{27}+5 \\\\ &=-\frac{4000}{81}+\frac{8000}{81}+5 \\ \\&=\frac{4405}{81}=54,38 \end{aligned} \)
