Var(x) und k-te Moment E(Xk)

Question

Zeigen Sie:

a) Existiert das k + 1-te Moment E(X^k+1), so existiert auch das k-te Moment E(X^k).
Hinweis: Benutzen Sie: E(|X|^k) < ∞ ⇔ E(X^k) existiert und zeigen Sie E(|X|^(k+1)) < ∞ ⇒E(|X|^k) < ∞.
b) Var(X) existiert genau dann, wenn E(X^2) existiert.

Answer 1

(1) Sei \( 1 \le r \le s \) und \( \mathbb{E}(|X|^s < \infty \)

dann gilt wegen der Hölderschen Ungleichung

$$ \mathbb{E} (|X|^r) \le \mathbb{E}(|X|^{r \cdot \frac{s}{r} } )^\frac{r}{s} = \mathbb{E}(|X|^s)^{\frac{r}{s}} < \infty $$

Mit \( r = k \) und \( s = k+1 \) folgt die Behauptung

(2) \( \text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2 < \infty \) wegen (1) und der Voraussetzung