Aloha :)
Wir brauchen einen Ortsvektor \(\vec r\), der vom Ursrung ausgehend die Masse abtastet. Da die Masse ein Zylindermantel ist, sind Zylinderkoordinaten eine gute Wahl:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[5;6]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;z\in[0;10]\;;\;dV=r\,dr\,d\varphi\,dz$$
Der Zylinder hat eine konstante Massendichte \(\rho\), daher lautet das Trägheitsmoment um die \(z\)-Achse:$$I_z=\rho\int\limits_V\vec r_{\perp}^2\,dV$$Das Quadrat des senkrechten(!) Abstandes zur \(z\)-Achse ist:$$\vec r_\perp^2=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\0\end{pmatrix}^2=r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi=r^2$$Wir setzen das als Integranden ein und erhalten:$$I_z=\rho\int\limits_{r=5}^6\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=0}^{10}r^2\,\underbrace{r\,dr\,d\varphi\,dz}_{=dV}=\rho\int\limits_{r=5}^6r^3\,dr\cdot\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\cdot\int\limits_{z=0}^{10}dz=\rho\left[\frac{r^4}{4}\right]_5^6\cdot2\pi\cdot10$$$$\phantom{I_z}=5\pi\rho\cdot(6^4-5^4)=5\pi\rho\cdot671=3355\pi\rho$$
