Funktionen zu Landau-Symbolen zuordnen

Question

Aufgabe:

Ich habe folgende Funktionen

\( f(n) = \binom{n}{2} =  \frac{1}{2}(n-1)n \), \( g(n) = πn^2 \)

Und soll nun bestimmen welche Landau-Notationen dazu passen.

\( f(n) =  O(g(n)), f(n) =  o(g(n)), f(n) =  Θ(g(n)), f(n) =  Ω(g(n)) \)

Als Ansatz habe ich bisher das ganze mit \( \lim\limits_{n\to\infty} \) gemacht und kam auf \( \frac{1}{2π} \)

und für \( \lim\limits_{n\to 0} \) auf 0.

Ich weiß nur leider es jetzt nicht weiter einzuordnen.

Für mich sind beide \( n^{2} \) und deswegen O und Ω und somit auch Θ.

Comments

Der ersten Fall könnte so notiert werden: $$\limsup\limits_{n\to\infty}\left|\dfrac{f(n)}{g(n)}\right| = \dots = \dfrac{1}{2\pi}\lt\infty \quad\Rightarrow\quad f(n) =  O(g(n)).$$(Die Betrachtung von \(n\rightarrow 0\) ergibt keinen Sinn.)

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Danke dann war ich schonmal auf dem richtigen Weg, aber wie kontrolliere ich die anderen Wege ? Was genau macht der lim sup anders ?

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Ahh ich habe jetzt https://de.wikipedia.org/wiki/Landau-Symbole#Definition gefunden, also wäre es auch Ω, da \( \frac{1}{2π} \) > 0 ist und am Ende dadurch auch Θ