Berechnen Sie die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung ∂i∂jfα und ∂j∂ifα für i,j ∈ {1, ... , n}

Question

Sei α ∈ ℝ, D = ℝⁿ \ {0} und f_α : D → ℝ definiert durch f_α(x) = ||x||₂^α, wobei ||•||₂ die Euklidische Norm bezeichnet.

(1) Berechnen Sie die partielle Ableitungen erster Ordnung ∂_jf_α für j ∈ {1, ... , n}.

(2) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung ∂_i∂_jf_α und ∂_j∂_if_α für i,j ∈ {1, ... , n}

Ansatz: Wir hatten bereits in der Vorlesung die partielle Ableitung für ||x||₂ mit \( \frac{x_j}{||x||_2} \)

Ich weiss leider nicht, wie ich hier jetzt mit dem α vorzugehen habe und würde mich sehr über eure Hilfe freuen.^^

Answer 1

Ich mach das mal für die \( \frac{\partial}{\partial x_i} f_\alpha(x) \) vor.

$$ f_\alpha(x) = \| x\|_2^\alpha = \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right)^\frac{\alpha}{2} $$

Und

$$  \frac{\partial}{\partial x_i} f_\alpha(x) =  \frac{\alpha}{2} \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right)^{\frac{\alpha}{2}-1} 2x_i = \alpha \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right)^{\frac{\alpha}{2}-1} x_i $$

Und jetzt kannst Du weiter rechnen.