Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von f .

Question

Hey

Ich habe die folgende Aufgabe teilweise gerechnet.

Text erkannt:

Gegeben ist die Funktion \( f \) in zwei Veränderlichen mit
\( f(x, y)=\frac{1}{y(x-3)} . \)
Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von \( f \).
\( \begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{y(x-3)}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x-3}\right)=\frac{1}{y} \cdot \frac{x}{\gamma x}\left(\frac{1}{x-3}\right)=-\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{(x-3)^{2}} \\ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{y(x-3)}\right)=\frac{\gamma}{\gamma y}\left(\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x-3}\right)=\frac{1}{x-3} \cdot \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{y}\right)=-\frac{1}{x-3} \cdot \frac{1}{y^{2}} \end{array} \)

Problem/Ansatz:

Ich möchte gerne wissen, ob was ich gerechnet habe richtigist

Und ich komme nicht weiter :(

Danke im Voraus für eure Hilfe

Answer 1

Aloha :)

Du hast die ersten partiellen Ableitungen der Funktion$$f(x;y)=\frac{1}{y(x-3)}$$richtig berechnet:$$\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{1}{y(x-3)^2}\quad;\quad\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{1}{y^2(x-3)}$$

Die zweiten partiellen Ableitungen bestimmst du nun in ähnlicher Weise:

$$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{1}{y(x-3)^2}\right)=-\frac{1}{y}\cdot\frac{-2}{(x-3)^3}=\frac{2}{y(x-3)^3}$$$$\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{1}{y^2(x-3)}\right)=\frac{2}{y^3}\cdot\frac{1}{(x-3)}=\frac{2}{y^3(x-3)}$$$$\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{1}{y(x-3)^2}\right)=\frac{1}{y^2}\cdot\frac{1}{(x-3)^2}=\frac{1}{y^2(x-3)^2}$$$$\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{1}{y^2(x-3)}\right)=-\frac{1}{y^2}\cdot\frac{-1}{(x-3)^2}=\frac{1}{y^2(x-3)^2}$$